Afkast måles enten tidsvægtet eller pengevægtet, og valget mellem de to afgør, om resultatet beskriver en investeringsstrategis kvalitet eller den enkelte investors faktiske formueudvikling. De to metoder kan give markant forskellige tal for samme portefølje, netop når der sker ind- og udbetalinger undervejs.

Tidsvægtet og pengevægtet afkast

Det tidsvægtede afkast neutraliserer effekten af cash flows ved at kæde delperiodernes afkast sammen geometrisk, så resultatet afspejler de underliggende aktivers udvikling uafhængigt af, hvornår investoren skød penge ind eller ud:

 

$$1+\text{TWR}=\prod _{i=1}^k(1+R_i)$$

 

Det pengevægtede afkast er derimod den interne rente, der nulstiller nutidsværdien af samtlige pengestrømme, og det vægter hver delperiode efter, hvor meget kapital der var bundet i den:

 

$$\sum _{t=0}^n\frac{C{F}_t}{(1+\text{MWR}{)}^t}=0$$

 

Betragt en portefølje, der starter med 1.000.000 kr, stiger 10 % det første år til 1.100.000 kr, hvorefter investoren indskyder yderligere 900.000 kr og bringer værdien til 2.000.000 kr. Det andet år falder porteføljen 10 % til 1.800.000 kr. Det tidsvægtede afkast er:

 

$$(\mathrm{1,10})(\mathrm{0,90})-1=-\mathrm{0,01}$$

 

altså −1 % samlet, svarende til cirka −0,50 % årligt. Det pengevægtede afkast findes ved at løse for

$x = 1+\text{MWR}$

i pengestrømmene

$-1{,}0\text{ mio.}$

ved

$t=0$

,

$-0{,}9\text{ mio.}$

ved

$t=1$

og

$+1{,}8\text{ mio.}$

ved

$t=2$

:

 

$$10x^2+9x-18=0\Rightarrow x=\frac{-9+\sqrt{801}}{20}\approx \mathrm{0,9651}$$

 

hvilket giver en intern rente på cirka −3,49 %. Forskellen skyldes, at den store kapitaltilførsel skete umiddelbart før det tabsgivende år, hvorfor det pengevægtede afkast straffer timingen hårdere end det tidsvægtede. Denne adskillelse er årsagen til, at porteføljeforvaltning rapporteres tidsvægtet, mens den enkelte investors realiserede resultat er pengevægtet.

Logaritmiske afkast og additivitet

Simple afkast er additive på tværs af aktiver — et porteføljeafkast er den vægtede sum af de enkelte positioners afkast — men de er ikke additive over tid. Logaritmiske afkast har de omvendte egenskaber: de summerer perfekt over tid, men ikke på tværs af positioner. Et log-afkast defineres som:

 

$$r=\ln \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{P_1}{P_0}\right)$$

 

For en kursbane fra 100 til 110 til 121 er hvert periodeafkast simpelt set 10 %, men summen 20 % afviger fra det faktiske totalafkast på 21 %. Med log-afkast bliver

$\ln(1{,}10) \approx 0{,}09531$

i hver periode, og summen

$0{,}19062$

er nøjagtig lig

$\ln(1{,}21)$

. Tilbageregnet giver

$e^{0{,}19062} – 1 = 0{,}21$

, altså de korrekte 21 %. Denne tidsadditivitet gør log-afkast til standardvalget i tidsseriemodellering og volatilitetsestimation, mens simple afkast bevares på aggregeringsniveau. Log-afkast knytter sig desuden direkte til kontinuert tilskrivning gennem

$V = V_0 e^{r t}$

, hvor

$r_{\text{kontinuert}} = \ln(1 + r_{\text{simpel}})$

.

Variansdrag og afstanden mellem middelværdierne

Afstanden mellem det aritmetiske og det geometriske afkast er ikke en tilfældighed, men en direkte funktion af afkastenes volatilitet. En andenordens udvikling af

$\ln(1+R)$

giver approksimationen:

 

$$R_g\approx R_a-\frac{{\sigma }^2}{2}$$

 

hvor

$\sigma^2$

er variansen på periodeafkastene. Dette variansdrag betyder, at to strategier med identisk aritmetisk middelafkast, men forskellig volatilitet, ikke akkumulerer formue ens: den mest volatile efterlader investoren fattigere. I eksemplet med +50 % efterfulgt af −50 % er det aritmetiske afkast 0 %, variansen

$\sigma^2 = 0{,}25$

, og tilnærmelsen forudsiger et geometrisk afkast omkring

$-0{,}125$

, hvilket ligger tæt på det eksakte −13,4 %. Approksimationen er præcis i grænsen af små afkast og bliver grovere ved store udsving, men den forklarer, hvorfor volatilitet i sig selv er en omkostning for den langsigtede formuevækst, uafhængigt af det forventede afkast.

Valutadimensionen i afkastet

For en investering i fremmed valuta er totalafkastet i hjemmevaluta et produkt af det lokale afkast og valutabevægelsen, ikke en simpel sum:

 

$$1+R_{\text{hjemme}}=(1+R_{\text{lokal}})(1+R_{\text{fx}})$$

 

Dette efterlader et krydsled, der ofte overses:

$R_{\text{hjemme}} = R_{\text{lokal}} + R_{\text{fx}} + R_{\text{lokal}} \cdot R_{\text{fx}}$

​. Med et lokalt afkast på 8 % og en styrkelse af den fremmede valuta på 5 % bliver hjemmeafkastet

$0{,}08 + 0{,}05 + (0{,}08)(0{,}05) = 0{,}134$

, altså 13,4 %, hvor krydsleddet bidrager med 0,4 procentpoint. Ved dekomponering af et samlet afkast i afkast- og valutabidrag skal krydsleddet allokeres eksplicit, da det ellers systematisk fejlfordeler performance mellem aktivvalg og valutaeksponering. Samme multiplikative struktur ligger til grund for, hvordan et afkast kan opdeles i afkastkilder — udvælgelse, allokering og valuta — i en fuld performanceattribuering, hvor hvert leds bidrag skal opgøres, så delene sammen genskaber det totale afkast uden restled.