Residualkravets struktur og optionalitet

Med begrænset hæftelse er aktionærernes samlede krav ved et gældsudløb givet ved:

\(E_T = \max(V_T – D_T, ; 0)\)

hvor V er virksomhedsværdien og D det udestående gældskrav. Kravet er dermed konvekst i den underliggende virksomhedsværdi, og strukturen formaliseres i Mertons opstilling. Konveksiteten har tre konsekvenser, som er iboende i selve aktien og ikke i noget derivat skrevet på den. For det første har aktien positiv værdi, selv når virksomhedsværdien ligger under gældens pålydende, hvilket forklarer, at egenkapitalen i nødlidende selskaber handles til en kurs over nul. For det andet stiger aktiens værdi med usikkerheden om virksomhedsværdien, hvilket giver aktionærer et incitament til at øge risikoen i aktivsiden på kreditorernes bekostning. For det tredje bliver aktiens følsomhed over for ændringer i virksomhedsværdien stigende, jo tættere virksomhedsværdien kommer på gældens pålydende, hvilket viser sig som stigende kursvolatilitet i takt med faldende afstand til restrukturering.

Udvandet aktieantal og per-aktie-mekanik

Grundlaget for al per-aktie-analyse er et selskab med 100 millioner udestående aktier, en kurs på 60 kr., et nettoresultat på 340 millioner kr. og en selskabsskattesats på 22 procent:

\(EPS_{basis} = \frac{340}{100} = 3{,}40 \text{ kr.}\)

Udestående medarbejderoptioner behandles efter treasury stock-metoden, hvor det antages, at provenuet fra udnyttelsen anvendes til tilbagekøb af aktier til gennemsnitskursen. Med 6 millioner optioner til en udnyttelseskurs på 40 kr. og en gennemsnitskurs på 60 kr.:

\(\Delta n = 6 – \frac{6 \times 40}{60} = 6 – 4 = 2 \text{ mio. aktier}\)

En konvertibel obligation med et pålydende på 500 millioner kr., en kuponrente på 4 procent og en konverteringskurs på 50 kr. behandles efter if-converted-metoden, hvor renten efter skat lægges tilbage til resultatet, og de potentielle aktier tilføjes nævneren:

\(\frac{500}{50} = 10 \text{ mio. aktier}\)

\(20 \times (1 – 0{,}22) = 15{,}6 \text{ mio. kr.}\)

Inddragelsen sker sekventielt efter stigende inkrementel indtjening pr. potentiel aktie. Optionerne er mest udvandende, da de tilfører nul indtjening, og medtages først, hvorved resultatet pr. aktie falder til 3,3333 kr. Den konvertible tilfører 1,56 kr. pr. potentiel aktie, hvilket er lavere end det løbende niveau, og er derfor også udvandende:

\(EPS_{udvandet} = \frac{340 + 15{,}6}{100 + 2 + 10} = \frac{355{,}6}{112} = 3{,}18 \text{ kr.}\)

Instrumenter, hvis inkrementelle indtjening pr. aktie overstiger det løbende udvandede niveau, udelades, da medtagelse ville løfte resultatet pr. aktie. Optioner, hvis udnyttelseskurs overstiger gennemsnitskursen, er derfor uden effekt, men bliver udvandende, så snart kursen stiger over udnyttelseskursen — en indbygget forbindelse mellem kursniveau og det effektive aktieantal.

Fortegningsret og teoretisk ex-rights-kurs

Ved en kapitaludvidelse med fortegningsret tegnes de nye aktier under markedskursen, og den mekaniske kursjustering fastlægges som den vægtede gennemsnitskurs efter udvidelsen:

\(TERP = \frac{n_{gl} \times P_{cum} + n_{ny} \times P_{tegn}}{n_{gl} + n_{ny}}\)

Med 40 millioner udestående aktier i kurs 120 kr. og en udvidelse i forholdet én ny for fire gamle til en tegningskurs på 80 kr. udstedes 10 millioner nye aktier:

\(TERP = \frac{40 \times 120 + 10 \times 80}{50} = \frac{4.800 + 800}{50} = 112 \text{ kr.}\)

Retten knyttet til én gammel aktie har dermed en teoretisk værdi svarende til rabatten fordelt på det antal retter, der kræves pr. ny aktie:

\(\frac{112 – 80}{4} = 8 \text{ kr.}\)

Formuepositionen er uændret for den aktionær, der enten tegner forholdsmæssigt eller sælger sine retter. En beholdning på 400 aktier med en værdi på 48.000 kr. før udvidelsen giver ved salg af retterne:

\(400 \times 112 + 400 \times 8 = 44.800 + 3.200 = 48.000 \text{ kr.}\)

og ved fuld tegning af 100 nye aktier:

\(500 \times 112 – 100 \times 80 = 56.000 – 8.000 = 48.000 \text{ kr.}\)

Aktionæren, der hverken tegner eller sælger, taber derimod 8 kr. pr. aktie. Kursfaldet fra 120 til 112 er rent teknisk, og historiske kursrækker skal derfor justeres med faktoren:

\(\frac{112}{120} = 0{,}9333\)

Samme princip anvendes ved splits og udbyttebetalinger, og manglende justering er en typisk kilde til fejlagtige afkastserier og forvredne tekniske signaler.

Tilbagekøb, akkretion og per-aktie-effekt

Et tilbagekøb ændrer nævneren i per-aktie-størrelserne og har en beregnelig effekt på indtjeningen pr. aktie. Beslutningsreglen for regnskabsmæssig akkretion er, at aktiens indtjeningsafkast skal overstige finansieringsomkostningen efter skat:

\(\frac{3{,}40}{60} = 5{,}67 ; %\)

\(0{,}02 \times (1 – 0{,}22) = 1{,}56 ; %\)

Med et tilbagekøb af 6 millioner aktier til kurs 60, finansieret af overskudslikviditet med en forrentning på 2 procent, bliver den samlede effekt:

\(EPS = \frac{340 – 360 \times 0{,}02 \times (1 – 0{,}22)}{100 – 6} = \frac{334{,}384}{94} = 3{,}5573 \text{ kr.}\)

\(\frac{3{,}5573}{3{,}40} – 1 = 4{,}6 ; %\)

Akkretionen er en aritmetisk konsekvens af forholdet mellem indtjeningsafkast og finansieringsomkostning og er ikke i sig selv værdiskabende. Værdioverførslen til de tilbageblivende aktionærer afhænger alene af, om tilbagekøbskursen ligger under aktiens indre værdi; sker tilbagekøbet over indre værdi, overføres værdi fra de blivende til de sælgende aktionærer, selv om indtjeningen pr. aktie stiger. Effekten på aktieantallet er kun permanent, hvis aktierne annulleres; egne aktier i behold indgår ikke i beregningen af udestående aktier, men kan genudstedes og udgør dermed en latent udvanding.

Clean surplus og per-aktie-identiteter

Sammenhængen mellem regnskab og aktiens værdi hviler på clean surplus-relationen, hvor al ændring i egenkapitalen pr. aktie passerer resultatopgørelsen:

\(B_t = B_{t-1} + EPS_t – DPS_t\)

Med en indre værdi ved periodens start på 28 kr. pr. aktie, et resultat på 3,40 kr. og et udbytte på 1,65 kr.:

\(B_1 = 28 + 3{,}40 – 1{,}65 = 29{,}75 \text{ kr.}\)

\(g = \frac{3{,}40 – 1{,}65}{28} = \frac{1{,}75}{28} = 6{,}25 ; %\)

Residualindkomsten pr. aktie er det, der skabes ud over forrentningen af den bogførte kapital ved et afkastkrav på 9 procent:

\(RI_1 = 3{,}40 – 0{,}09 \times 28 = 3{,}40 – 2{,}52 = 0{,}88 \text{ kr.}\)

Ved konstant egenkapitalforrentning vokser residualindkomsten med samme rate som den bogførte værdi, og aktiens værdi kan skrives som indre værdi plus kapitaliseret residualindkomst:

\(P_0 = 28 + \frac{0{,}88}{0{,}09 – 0{,}0625} = 28 + 32 = 60 \text{ kr.}\)

Den udbyttebaserede opstilling giver nødvendigvis samme resultat:

\(P_0 = \frac{1{,}65}{0{,}09 – 0{,}0625} = 60 \text{ kr.}\)

Identiteten gælder kun, så længe clean surplus overholdes. Poster, der føres direkte på egenkapitalen uden om resultatopgørelsen, bryder sammenhængen, og det samme gør udstedelse af nye aktier til en kurs under indre værdi. Udstedes 10 millioner nye aktier til kurs 20 i et selskab med 100 millioner aktier og en indre værdi på 28 kr. pr. aktie:

\(\frac{100 \times 28 + 10 \times 20}{110} = \frac{3.000}{110} = 27{,}27 \text{ kr.}\)

Den bogførte værdi pr. aktie falder med 0,73 kr., og forskellen er en ren formueoverførsel fra de eksisterende til de nye aktionærer. Denne kohorteeffekt er den centrale grund til, at per-aktie-størrelser skal analyseres sammen med udviklingen i aktieantallet og ikke isoleret.

Stemmeret, aktieklasser og kontrolkile

Adskillelsen af pengestrømsrettigheder og stemmerettigheder kvantificeres som forholdet mellem stemmeandel og kapitalandel. Med 5 millioner aktier med ti stemmer hver og 45 millioner aktier med én stemme hver kontrollerer den første klasse:

\(\frac{5 \times 10}{5 \times 10 + 45 \times 1} = \frac{50}{95} = 52{,}6 ; %\)

af stemmerne mod en kapitalandel på 10 procent. Kilen mellem de to andele er kernen i den analytiske vurdering af governance-risiko: jo større afstand, desto mindre er den kontrollerende ejers økonomiske eksponering mod konsekvenserne af egne beslutninger. Kilen påvirker prisdannelsen direkte, idet klasser med lav stemmevægt typisk handles med en rabat, og indirekte gennem lavere sandsynlighed for et fjendtligt overtagelsestilbud, hvilket fjerner en del af kontrolpræmien fra kursen. Flere indeksudbydere anvender desuden kriterier for stemmestruktur ved optagelse, hvorved klassens efterspørgsel fra passiv kapital reduceres.

Frit omsætteligt udbud og handelsmekanik

Kun den del af aktiekapitalen, der reelt er tilgængelig for handel, indgår i de fleste indeksvægte. Med 100 millioner aktier i kurs 60, hvoraf 30 millioner er bundet hos stiftere eller strategiske ejere, er den justerede markedsværdi:

\(100 \times 60 \times 0{,}70 = 4.200 \text{ mio. kr.}\)

mod 6.000 millioner kr. opgjort på hele kapitalen. Forskellen bestemmer både indeksvægten og den mængde aktier, der skal absorberes ved en vægtændring. Et lavt frit udbud giver bredere spænd mellem købs- og salgskurs, større kurspåvirkning pr. handlet mængde og dermed en likviditetspræmie i afkastkravet, som isoleret set trækker kursen ned. Ophør af bindingsperioder øger det frie udbud og virker som et udbudschok, hvis effekt på kursen afhænger af, hvor stor den frigivne mængde er i forhold til den normale daglige omsætning.