Alpha
Den del af afkastet, der ikke kommer fra markedet
Alfa er den del af et investeringsafkast, der ikke kan forklares af, at markedet som helhed er steget eller faldet. Når aktiemarkedet stiger, stiger de fleste porteføljer med. Alfa er det, der bliver tilbage, når man har trukket den fælles markedsbevægelse fra: bidraget fra investorens egne valg.
Billedet er en rulletrappe. Rulletrappen bærer alle passagerer opad med samme hastighed — det er markedet. Nogle passagerer står stille og ankommer præcis, når trappen bringer dem derop. Andre går selv opad oven i trappen og ankommer hurtigere. Alfa er de skridt, passageren selv tager. Det siger intet om, hvor højt vedkommende ender, kun hvor meget af rejsen der skyldes vedkommendes egen indsats frem for trappen.
En investeringsforening leverer 13 procent på et år, mens det marked, den sammenlignes med — dens benchmark, altså det indeks, der bruges som målestok — stiger 10 procent. Forskellen på 3 procentpoint er den simple form for alfa:
\(\text{Alfa} = \text{13 %} – \text{10 %} = \text{3 %}\)
En anden forening ender på 7 procent i samme år. Her har markedet leveret 10 procent, og foreningen har mistet 3 procentpoint undervejs:
\(\text{Alfa} = \text{7 %} – \text{10 %} = -\text{3 %}\)
Alfa kan altså være negativt, og det er lige så meningsfuldt som et positivt tal. En tredje forening falder 2 procent i et år, hvor markedet falder 8 procent. Trods det negative afkast er alfa positivt:
\(\text{Alfa} = -\text{2 %} – \left( -\text{8 %} \right) = \text{6 %}\)
Højt afkast er ikke det samme som alfa
Et højt afkast kan opstå udelukkende ved at tage mere risiko, og den slags afkast er ikke alfa. To både sejler på den samme flod. Den ene har dobbelt så stort sejl som den anden og bevæger sig dobbelt så hurtigt, når vinden blæser. Det er ikke sejlerens fortjeneste, men sejlets størrelse. Alfa er det ekstra, der kommer fra sejlerens rutevalg, ikke fra sejlarealet.
En portefølje er sammensat, så den svinger dobbelt så meget som markedet. Markedet stiger 10 procent, og porteføljen stiger 22 procent. Den forventede bevægelse fra markedet alene er 20 procent, og alfa er derfor kun de 2 procentpoint, der ligger derudover:
\(\text{Alfa} = \text{22 %} – 2 \cdot \text{10 %} = \text{2 %}\)
Målt råt ser porteføljen ud til at slå markedet med 12 procentpoint. Justeret for, at den har taget dobbelt så meget markedsrisiko, er bidraget fra investorens egne valg langt mindre. Den samme portefølje ville i et år med et markedsfald på 10 procent falde omkring 20 procent, og det er prisen for det store sejl.
Hvorfor alfa er svært
Omkostninger trækkes fra alfa, ikke fra markedsafkastet. En forvalter, der skaber 1,5 procentpoint alfa før omkostninger og opkræver 1,2 procent i honorar, efterlader 0,3 procentpoint til investoren. Dertil kommer handelsomkostninger ved at købe og sælge.
Positiv alfa hos én investor forudsætter desuden, at en anden investor har negativ alfa. Alle investorer tilsammen ejer markedet og får per definition markedets afkast, og den samlede alfa på tværs af alle investorer er derfor nul, før omkostninger — og negativ efter. Alfa er ikke en ressource, der produceres, men en ressource, der omfordeles.
Alpha
Jensens alfa
Den simple forskel mellem portefølje og indeks tager ikke højde for, hvor meget markedsrisiko porteføljen faktisk bærer. Jensens alfa løser dette ved at måle det realiserede afkast op imod det afkast, en prisfastsættelsesmodel forudsiger for netop den risikoeksponering:
\(\alpha_{p} = R_{p} – \left[ R_{f} + \beta_{p} \left( R_{m} – R_{f} \right) \right]\)
Her er R_p porteføljens afkast, R_f den risikofri rente, R_m markedsafkastet, og β porteføljens følsomhed over for markedsbevægelser. Leddet i den kantede parentes er CAPM’s forventede afkast, altså den kompensation porteføljen bør have alene for sin markedseksponering. Alfa er residualen.
En portefølje leverer 13,0 procent i et år, hvor den risikofri rente er 2,0 procent og markedet 10,0 procent. Porteføljens beta er 1,3:
\(E\left( R_{p} \right) = \text{2,0 %} + \text{1,3} \cdot \left( \text{10,0 %} – \text{2,0 %} \right) = \text{2,0 %} + \text{10,4 %} = \text{12,4 %}\)
\(\alpha_{p} = \text{13,0 %} – \text{12,4 %} = \text{0,6 %}\)
Målt råt slår porteføljen indekset med 3,0 procentpoint. Risikojusteret er bidraget 0,6 procentpoint, fordi 2,4 procentpoint af merafkastet skyldes den forhøjede markedseksponering og ikke forvalterens dispositioner.
Alfa som konstantled i en regression
Estimeret over en tidsserie er alfa skæringspunktet i en regression af porteføljens merafkast på markedets merafkast:
\(R_{p,t} – R_{f,t} = \alpha + \beta \left( R_{m,t} – R_{f,t} \right) + \varepsilon_{t}\)
Fortolkningen af α er det gennemsnitlige merafkast over den risikofri rente i de perioder, hvor markedets merafkast er nul. Restleddet ε_t opsamler de porteføljespecifikke udsving, som markedet ikke forklarer, og har per konstruktion middelværdi nul og er ukorreleret med den forklarende variabel.
Estimeres alfa på månedsdata, skal det opskaleres for at kunne sammenlignes med årlige tal. Et månedligt alfa på 0,12 procent svarer til:
\(\left( 1 + \text{0,0012} \right)^{12} – 1 = \text{0,014494} \approx \text{1,45 %}\)
Alfa er defineret i forhold til en model
Ændres benchmark eller modelspecifikation, ændres alfa. En portefølje leverer 14,0 procent med en beta på 1,0 målt mod et bredt indeks, der giver 11,0 procent, med en risikofri rente på 2,0 procent:
\(\alpha = \text{14,0 %} – \left[ \text{2,0 %} + \text{1,0} \cdot \left( \text{11,0 %} – \text{2,0 %} \right) \right] = \text{3,0 %}\)
Samme portefølje består overvejende af mindre selskaber. Måles den i stedet mod et indeks for netop dette segment, som leverede 14,5 procent, med uændret beta:
\(\alpha = \text{14,0 %} – \left[ \text{2,0 %} + \text{1,0} \cdot \left( \text{14,5 %} – \text{2,0 %} \right) \right] = -\text{0,5 %}\)
De 3,0 procentpoint var ikke forvalterens bidrag, men en systematisk eksponering, som det brede indeks ikke indeholdt. Alfa har ingen selvstændig eksistens uafhængigt af den model, det måles imod; det er per definition den del af afkastet, som en given specifikation ikke kan forklare.
Brutto og netto
Alfa før omkostninger og alfa efter omkostninger er to forskellige størrelser, og kun den sidste tilfalder investoren. En strategi genererer 1,8 procentpoint bruttoalfa. Forvaltningshonoraret er 1,0 procent, og handelsomkostningerne ved den løbende omlægning udgør 0,3 procentpoint:
\(\alpha_{\text{netto}} = \text{1,8 %} – \text{1,0 %} – \text{0,3 %} = \text{0,5 %}\)
Omkostningerne er sikre, mens bruttoalfa er usikker. Det asymmetriske forhold betyder, at fordelingen af nettoalfa på tværs af forvaltere forskydes nedad i forhold til fordelingen af bruttoalfa, uden at spredningen reduceres tilsvarende.
Alpha
Modelafhængighed og faktormigration
I en multifaktorspecifikation er alfa skæringspunktet efter projektion på hele faktorrummet:
\(R_{p,t} – R_{f,t} = \alpha + \sum_{k=1}^{K} \beta_{k} F_{k,t} + \varepsilon_{t}\)
Alfa er ortogonalt på de inkluderede faktorer og bærer derfor kun information om afkast, der ikke ligger i deres span. Tilføjes en faktor, som porteføljen har positiv eksponering imod, og som har positivt gennemsnitligt afkast, falder alfa mekanisk.
Udeladelsen kan kvantificeres eksakt. Antag den sande model indeholder to faktorer, mens der kun regresseres på den ene. Hjælperegressionen F_2 = c + δF_1 + u giver den udeladte faktors del, som ikke forklares af den inkluderede. Indsættes dette, bliver skæringspunktet i enfaktormodellen:
\(\alpha_{1} = \alpha + \beta_{2} , c, \qquad c = E\left[ F_{2} \right] – \delta , E\left[ F_{1} \right]\)
Med en loading på 0,35 på den udeladte faktor, et gennemsnitligt faktorafkast på 3,0 procent p.a., δ = 0,20 og et gennemsnitligt afkast på den inkluderede faktor på 6,0 procent p.a.:
\(c = \text{3,0 %} – \text{0,20} \cdot \text{6,0 %} = \text{1,8 %}\)
\(\text{bias} = \text{0,35} \cdot \text{1,8 %} = \text{0,63} \text{ procentpoint}\)
Et rapporteret alfa på 1,50 procent p.a. reduceres dermed til 0,87 procent under den udvidede specifikation. Hele diskussionen om, hvorvidt et givet alfa er ægte, er i praksis en diskussion om, hvilke systematiske eksponeringer der hører til i modellen, og ikke om afkastet er realiseret.
Estimationspræcision og signifikans
Alfa er et estimat med en standardfejl, der skalerer ugunstigt med observationsperioden. For OLS-skæringspunktet gælder:
\(\operatorname{Var}\left( \hat{\alpha} \right) = \sigma_{\varepsilon}^{2} \left( \frac{1}{T} + \frac{\bar{x}^{2}}{\sum_{t=1}^{T} \left( x_{t} – \bar{x} \right)^{2}} \right)\)
Da det andet led er lille, når markedets gennemsnitlige merafkast er lille relativt til dets spredning, gælder tilnærmelsen at standardfejlen er residualvolatiliteten divideret med kvadratroden af antal observationer. Testobservatoren bliver derfor:
\(t = \frac{\hat{\alpha}}{\sigma_{\varepsilon} , / , \sqrt{T}} = \frac{\hat{\alpha}}{\sigma_{\varepsilon}} \sqrt{T} = \mathrm{IR} \cdot \sqrt{T}\)
hvor IR er informationsraten målt på samme frekvens som alfa. Identiteten fastlægger, hvor lang en historik der kræves, før alfa kan skelnes fra nul. En strategi med et alfa på 1,2 procent p.a. og en residualvolatilitet på 4,0 procent p.a. har en årlig informationsrate på 0,30. For at nå en t-værdi på 2,0 kræves:
\(\sqrt{T} = \frac{\text{2,0}}{\text{0,30}} = \text{6,67} \quad \Rightarrow \quad T = \text{44,4} \text{ år}\)
Resultatet er uafhængigt af datafrekvensen: at måle månedligt frem for årligt øger antallet af observationer, men reducerer alfa og residualvolatiliteten proportionalt, så informationsraten pr. observation falder tilsvarende. Præcisionen bestemmes af kalendertid, ikke af samplingfrekvens. Konsekvensen er, at et estimeret alfa fra en typisk track record er et støjsignal, og at rangordning af forvaltere på realiseret alfa i høj grad rangordner realiseret støj. Er residualerne autokorrelerede — hvilket forekommer ved illikvide beholdninger med forsinket eller udjævnet prisfastsættelse — undervurderer den konventionelle standardfejl usikkerheden yderligere, og Newey-West-korrektion anvendes som modtræk.
Konveksitet som kilde til falsk alfa
Er porteføljens markedseksponering ikke konstant, men varierer med markedets afkast, opsamler et lineært regressionsskæringspunkt en systematisk komponent, der ikke er alfa. Lad eksponeringen være β_t = β + γx_t, hvor x_t er markedets merafkast. Det faktiske merafkast bliver da:
\(y_{t} = \alpha + \beta x_{t} + \gamma x_{t}^{2} + \varepsilon_{t}\)
Regresseres y alene på x, absorberes det kvadratiske led delvist i skæringspunktet. Med μ som middelværdi og σ som standardafvigelse for x, og under antagelse af symmetrisk fordelt x, bliver den forventede værdi af det estimerede skæringspunkt:
\(E\left[ \hat{\alpha}_{\text{OLS}} \right] = \alpha + \gamma \left( \sigma^{2} – \mu^{2} \right)\)
Med månedlige tal, hvor markedets merafkast har en middelværdi på 0,5 procent og en standardafvigelse på 4,0 procent, og en konveksitetsparameter på 0,50:
\(\gamma \left( \sigma^{2} – \mu^{2} \right) = \text{0,50} \cdot \left( \text{0,00160} – \text{0,000025} \right) = \text{0,00079}\)
\(\text{0,079 %} \text{ pr. måned} \times 12 \approx \text{0,94 %} \text{ p.a.}\)
Næsten et helt procentpoint årligt fremstår som alfa, uden at forvalteren har haft nogen udvælgelsesevne overhovedet. Fortegnet vender for konkave profiler, hvor eksponeringen reduceres i stigende markeder. Treynor-Mazuy- og Henriksson-Merton-specifikationerne adresserer netop dette ved eksplicit at inkludere leddet, så α igen isolerer selektion frem for konveksitet. Beslægtet hermed producerer strategier med indbygget asymmetri — eksempelvis systematisk optionsudstedelse eller kreditbærende positioner — et stabilt positivt målt alfa i lange perioder, fordi den negative haleeksponering er koncentreret i sjældne observationer, som en normalfordelingsbaseret inferens ikke vægter korrekt.
Kapacitet og aftagende skalerbarhed
Alfa er ikke skalerbart. Den realiserede alfa-rate falder med den forvaltede kapital, fordi markedspåvirkningen ved at etablere og afvikle positioner vokser med positionsstørrelsen. En lineær approksimation α(A) = α_0 − kA giver kronealfa som en konkav funktion:
\(\Pi\left( A \right) = A \left( \alpha_{0} – k A \right), \qquad A^{*} = \frac{\alpha_{0}}{2k}\)
Med en teoretisk alfa-rate på 4,0 procent ved marginal kapital og et fald på 0,5 procentpoint pr. milliard kroner under forvaltning ligger kapacitetsoptimum ved 4 milliarder kroner:
\( \begin{array}{lccc} \text{Kapital (mia. kr.)} & 2 & 4 & 6 \\ \text{Nettoalfa (\% p.a.)} & \text{3,0} & \text{2,0} & \text{1,0} \\ \text{Kronealfa (mio. kr.)} & 60 & 80 & 60 \end{array} \)
Forvaltningshonoraret er derimod proportionalt med kapitalen og vokser monotont. Honorarindtægten maksimeres således ved en kapitalbase, der ligger over det punkt, hvor kronealfa til investorerne topper, og strukturelt trækker en forvalter med rene aktivbaserede honorarer mod at overskride sin egen alfa-kapacitet.
Fra signal til realiseret alfa
Omsætningen af prognoseevne til alfa formaliseres i den fundamentale lov for aktiv forvaltning, hvor informationskoefficienten IC er korrelationen mellem forventede og realiserede afkast, breadth BR er antallet af uafhængige beslutninger pr. år, og transferkoefficienten TC måler, hvor stor en del af de ønskede positioner der faktisk kan implementeres under porteføljerestriktioner:
\(\mathrm{IR} \approx \mathrm{TC} \cdot \mathrm{IC} \cdot \sqrt{\mathrm{BR}}\)
Med en informationskoefficient på 0,05 og 200 uafhængige beslutninger:
\(\text{0,05} \cdot \sqrt{200} = \text{0,05} \cdot \text{14,142} = \text{0,707}\)
Med en transferkoefficient på 0,60, hvilket svarer til betydelige begrænsninger på shortpositioner og sektorafvigelser:
\(\mathrm{IR} = \text{0,60} \cdot \text{0,707} = \text{0,424}\)
Ved en tracking error på 4,0 procent p.a. giver dette et forventet bruttoalfa på:
\(\alpha = \text{0,424} \cdot \text{4,0 %} = \text{1,70 %} \text{ p.a.}\)
Kvadratrodsafhængigheden af breadth forudsætter uafhængighed mellem beslutningerne. Er signalerne korrelerede, er den effektive breadth langt lavere end antallet af positioner, og en portefølje med hundredvis af navne styret af ét fælles signal har reelt en breadth tæt på én. Restriktioner virker gennem transferkoefficienten alene og skalerer alfa proportionalt ned uden at ændre kilden.
Den samme mekanik gælder over tid. Et signal, hvis alfa henfalder eksponentielt, giver kun en brøkdel af sin oprindelige styrke over en holdeperiode:
\(\alpha\left( \tau \right) = \alpha_{0} , e^{-\lambda \tau}, \qquad \lambda = \frac{\ln 2}{h}\)
Den gennemsnitligt indfangede andel over en holdeperiode T er integralet divideret med T. Med en halveringstid på 3 måneder og en holdeperiode på 6 måneder giver λT = 1,386, og:
\(\frac{1 – e^{-\text{1,386}}}{\text{1,386}} = \frac{1 – \text{0,25}}{\text{1,386}} = \text{0,541}\)
Et signal med et oprindeligt alfa på 6,0 procent p.a. leverer dermed 3,25 procent i gennemsnit over holdeperioden før omkostninger. Kortere holdeperiode øger den indfangede andel, men hæver omsætningshastigheden og dermed handelsomkostningerne, og optimum ligger, hvor den marginale gevinst ved hurtigere rotation netop udlignes af den marginale omkostning.
Separation af alfa fra beta
Da alfa per konstruktion er ortogonalt på de systematiske eksponeringer, kan det i princippet løsrives fra den beta, det er genereret sammen med. En markedsneutral portefølje, der leverer 1,70 procent over den risikofri rente, kan kombineres med en futuresoverlay, der påfører den ønskede indekseksponering, hvorved det samlede afkast bliver indeksafkastet plus alfa minus finansieringsspændet på overlayet. Konstruktionen — kendt som portable alpha — gør alfa til et selvstændigt afkastelement, der kan allokeres uafhængigt af, hvilket aktivmarked det oprindeligt blev høstet i, og forudsætter alene, at kapitalen kan bære både marginkrav og den underliggende strategi samtidig.
Alpha
Alle Har ret til finansiel dannelse
Investering er nok den bedste vej til økonomisk frihed. Hos ABCapital ønsker vi at motivere og forberede alle til at investere. Vi vil gerne gøre investering til en god oplevelse for alle — og sikre, at nybegyndere, i en verden af “investeringsguruer” og TikTok-eksperter, kan træffe beslutninger på et oplyst grundlag.
Hvad tilbyder ABCapital?
Ordbog
En ordbog skrædersyet til dit niveau. Vælg selv om du har brug en forklaring på begynder, øvet eller ekspertniveau. Find +50 begreber med 3 forklaringer til hvert. Fra simple eksempler til sammenhænge på tværs af begreber. I finans og investering hænger ting oftest sammen – stiger renten, kan indtjeningen falde, falder indtjeningen påvirker det værdiansættelsen…
Gratis kursus
Vi mener at investering er for alle. Derfor har vi sammensat et kursus bestående af 20 moduler, hvor du bliver taget igennem alt hvad der kan tænkes nødvendigt for at blive klar til at investere. Hvis der er én ting vi kunne sikre for alle, så var det at deres første investering var en god oplevelse. Bliv klar til aktiemarkedet med et gratis kursus der ikke har nogne skjult agenda
Hvem står bag ABCapital?
Mit navn er Kasper Wesenberg. Jeg er ikke noget investeringsgeni, og jeg investerer ikke bedre end gennemsnittet. Jeg har set en stigende tendens til, at folk deler deres investeringsrejse på TikTok og andre medier, hvor nogle skaber reel værdi, mens andre fremmer investering på en decideret usund måde.
Med ABCapital håber jeg at give kommende investorer muligheden for at lære deres ABC om investering, inden de kaster sig ud i det.
Jeg har en HA (almen) fra CBS med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments. med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments samme sted. Jeg er hverken uddannet investeringsrådgiver eller har taget fancy kurser, men uddannelsen giver mig teoretiske og statistiske indsigter i investeringsverdenen.