Estimationsusikkerhed og valg af datavindue

Betaestimatet er en OLS-hældning og har derfor en standardfejl, der afhænger af restvolatiliteten, markedets spredning og antallet af observationer:

\(SE(\hat{\beta}) = \frac{\sigma_{\varepsilon}}{\sigma_m \sqrt{T}}\)

Med 100 ugentlige observationer, en markedsvolatilitet på 2,50 % pr. uge og en restvolatilitet på 3,00 % pr. uge fås

\(SE(\hat{\beta}) = \frac{0{,}0300}{0{,}0250 \times 10} = 0{,}120\)

Et punktestimat på 1,20 giver dermed et 95 %-konfidensinterval på cirka

\(1{,}20 \pm 1{,}96 \times 0{,}120 = [,0{,}96, ;, 1{,}44,]\)

Intervallet indeholder både 1,00 og 1,40, hvilket demonstrerer, at et enkelt selskabsbetaestimat sjældent kan bære en skarp konklusion om, hvorvidt selskabet er offensivt eller markedsneutralt. Fordobles observationsantallet til 200, falder standardfejlen med faktoren kvadratroden af to til omtrent 0,085, men prisen er, at vinduet strækker sig længere tilbage i tid, hvor kapitalstruktur, forretningsmix og konkurrencesituation kan have været fundamentalt anderledes. Der eksisterer dermed en reel afvejning mellem statistisk præcision og parameterstabilitet, som ikke kan løses ved blot at forlænge stikprøven.

Porteføljebetaer estimeres langt mere præcist end enkeltselskabsbetaer, fordi restleddene i vid udstrækning diversificeres bort. Med 25 positioner med en gennemsnitlig restvolatilitet på 30 % årligt og lav indbyrdes restkorrelation falder porteføljens restvolatilitet mod

\(\frac{30%}{\sqrt{25}} = 6%\)

og standardfejlen på porteføljens beta falder proportionalt.

Mikrostrukturstøj og ikke-synkron handel

Højere datafrekvens øger T, men introducerer målefejl. Handles en aktie sjældnere end indekset, indarbejdes markedsinformation med forsinkelse i den observerede kurs, og den samtidige kovarians med markedet undervurderes systematisk. Effekten trækker estimatet nedad for illikvide selskaber og opad for de mest likvide, der driver indekset. Dimsons aggregerede koefficientmetode korrigerer for dette ved at regressere på både samtidige og forskudte markedsafkast og summere hældningerne:

\(\hat{\beta}^{D} = \sum_{k = -K}^{K} \hat{\beta}_k\)

Scholes-Williams-estimatoren adresserer samme problem via en korrelationsjusteret vægtning af forskudte hældninger. Begge metoder køber reduktion i systematisk bias til gengæld for højere estimationsvarians, fordi flere parametre estimeres på samme datamængde.

Anvendes daglige data, tilføjer bid-ask-bounce en negativ førsteordens autokorrelation i de observerede afkast, der yderligere forvrider den målte kovarians. Ugentlige eller månedlige intervaller dæmper effekten, men reducerer samtidig antallet af observationer i et givet kalendervindue.

Shrinkage og prædiktiv beta

Fordi et estimeret beta indeholder både signal og støj, er den mest sandsynlige sande værdi for et selskab med et ekstremt estimat tættere på tværsnittets gennemsnit end estimatet selv. Det følger direkte af, at måleusikkerheden trækker ekstreme observationer længere ud i fordelingens haler, end de sande værdier ligger. Vasiceks præcisionsvægtede justering formaliserer dette som et vægtet gennemsnit mellem det egne estimat og tværsnitsgennemsnittet, hvor vægtene er omvendt proportionale med de respektive varianser:

\(\beta_i^{adj} = \frac{\sigma_{tv}^2}{\sigma_{tv}^2 + SE(\hat{\beta}_i)^2} \hat{\beta}_i + \frac{SE(\hat{\beta}i)^2}{\sigma{tv}^2 + SE(\hat{\beta}_i)^2} \bar{\beta}\)

Med en tværsnitsspredning i betaer på 0,30, altså en varians på 0,0900, og en standardfejl på 0,120, altså en varians på 0,0144, bliver vægten på selskabets eget estimat

\(\frac{0{,}0900}{0{,}0900 + 0{,}0144} = \frac{0{,}0900}{0{,}1044} \approx 0{,}862\)

Et estimat på 1,20 mod et tværsnitsgennemsnit på 1,00 justeres dermed til

\(0{,}862 \times 1{,}20 + 0{,}138 \times 1{,}00 \approx 1{,}17\)

En simplere og udbredt variant vægter estimatet og enheden med faste andele, typisk med hovedvægten på det observerede estimat. Fælles for begge er, at justeringen er kraftigst dér, hvor estimationsusikkerheden er størst, altså for illikvide selskaber, korte historikker og selskaber med høj idiosynkratisk volatilitet.

Den samme støjstruktur skaber attenuationsbias i tværsnitsregressioner, hvor estimerede betaer bruges som forklarende variabel. Den estimerede risikopræmie trækkes mod nul med faktoren

\(\frac{\sigma_{\beta}^2}{\sigma_{\beta}^2 + \sigma_{fejl}^2}\)

hvilket er den primære grund til, at sådanne analyser typisk grupperer selskaber i porteføljer, før betaerne estimeres.

Kapitalstrukturens virkning: af- og pågearing

Egenkapitalens beta afspejler både forretningsrisiko og finansiel gearing. Under Hamadas relation, der antager gældsbeta på nul og et skatteskjold med samme risiko som gælden, gælder

\(\beta_L = \beta_U \left[ 1 + (1 – \tau)\frac{D}{E} \right]\)

En sammenlignelig børsnoteret virksomhed med en observeret egenkapitalbeta på 1,60, et D/E på 0,80 og en skattesats på 25 % afgearet giver

\(\beta_U = \frac{1{,}60}{1 + 0{,}75 \times 0{,}80} = \frac{1{,}60}{1{,}60} = 1{,}00\)

Pågearing til en målkapitalstruktur med D/E på 0,40 giver

\(\beta_L = 1{,}00 \times \left[ 1 + 0{,}75 \times 0{,}40 \right] = 1{,}30\)

Tillades gælden at bære markedsrisiko, hvilket er relevant ved høj gearing eller lav kreditkvalitet, generaliseres afgearingen til

\(\beta_U = \frac{E \beta_L + D(1 – \tau)\beta_D}{E + D(1 – \tau)}\)

Med E = 1,00, D = 0,80 og en gældsbeta på 0,10 bliver tælleren 1,60 + 0,06 = 1,66 og nævneren 1,60, altså en aktivbeta på cirka 1,04. Ignoreres gældsbetaen ved høj gearing, undervurderes forretningsrisikoen systematisk, og fejlen forplantes til det pågearede estimat.

Relationen indebærer også, at egenkapitalbeta er tilstandsafhængig. Med en aktivbeta på 1,00, en gæld på 60 og en egenkapital på 100 er egenkapitalbetaen 1,45. Falder egenkapitalværdien 25 % til 75, mens gælden er uændret, stiger D/E til 0,80, og egenkapitalbetaen stiger mekanisk til 1,60. Markedsfølsomheden vokser altså netop i de tilstande, hvor markedet er faldet, hvilket er en strukturel kilde til den asymmetri, der observeres i realiserede betaer.

Aktivbeta er tilsvarende et værdivægtet gennemsnit af de underliggende aktivers betaer. Da likvide midler har en beta tæt på nul, indebærer en betydelig kontantbeholdning, at driftsaktiverne har højere beta end selskabet samlet. Med en samlet aktivværdi på 1.000, en kontantbeholdning på 200 og en aktivbeta på 0,90 bliver driftsbetaen

\(\beta_{drift} = 0{,}90 \times \frac{1.000}{1.000 – 200} = 0{,}90 \times 1{,}25 = 1{,}125\)

Samme additivitet gør det muligt at udlede en divisions implicitte beta som residual, når koncernens aktivbeta og de øvrige divisioners betaer og værdivægte er kendte.

Beta som marginalt risikobidrag

Ud over den statistiske fortolkning har beta en eksakt porteføljeteoretisk betydning som marginalt bidrag til porteføljevarians. For en portefølje med varians lig w’Σw gælder

\(\frac{\partial \sigma_p^2}{\partial w_i} = 2,\mathrm{Cov}(r_i,, r_p)\)

hvoraf

\(\beta_{i,p} = \frac{\mathrm{Cov}(r_i,, r_p)}{\sigma_p^2} = \frac{\partial \sigma_p^2 / \partial w_i}{2 \sigma_p^2}\)

Beta er dermed den korrekte størrelse at anvende ved marginal risikoallokering: to positioner med samme volatilitet, men forskellig beta i forhold til den eksisterende portefølje, bidrager forskelligt til den samlede risiko, og kun betaen fanger dette. Egenskaben forklarer også, hvorfor risikobidrag i porteføljestyring dekomponeres som produktet af vægt, beta i forhold til porteføljen og porteføljens volatilitet, en opdeling der summerer eksakt til den samlede volatilitet.

Vælges markedsporteføljen som referenceportefølje, reduceres udtrykket til den sædvanlige markedsbeta, og førsteordensbetingelsen for optimalitet giver netop det lineære forhold mellem forventet merafkast og beta, som ligger til grund for værdipapirmarkedslinjen.

Betinget og asymmetrisk beta

Beta er ikke konstant over tid. Betinget på informationsmængden ved tidspunkt t defineres

\(\beta_{i,t} = \frac{\mathrm{Cov}t(r{i,t+1},, r_{m,t+1})}{\mathrm{Var}t(r{m,t+1})}\)

Rullende vinduer er den enkleste estimator, men vægter alle observationer i vinduet lige og kasserer information brat ved vinduets kant. Eksponentielt vægtede kovariansestimatorer glider blødere, idet vægtene aftager geometrisk med en henfaldsfaktor, mens flerdimensionale GARCH-specifikationer, herunder dynamiske betingede korrelationsmodeller, modellerer kovariansmatricen direkte og udleder beta som et forhold mellem dens elementer. En tilstandsrumsformulering, hvor beta følger en random walk og filtreres med Kalman-filteret, giver et alternativ, hvor glatningsgraden bestemmes af forholdet mellem tilstandsstøj og observationsstøj frem for af et vilkårligt vinduesvalg.

Asymmetri håndteres ved at betinge på markedstilstanden. Nedadrettet beta defineres alene på observationer under en tærskel, typisk markedets gennemsnit eller nul:

\(\beta_i^{-} = \frac{\mathrm{Cov}\left(r_i,, r_m \mid r_m < \mu_m \right)}{\mathrm{Var}\left(r_m \mid r_m < \mu_m \right)}\)

Overstiger den nedadrettede beta den opadrettede, leverer positionen mindre beskyttelse i faldende markeder, end det ubetingede estimat antyder. Betingningen halverer imidlertid effektivt stikprøven og øger estimationsusikkerheden tilsvarende, hvorfor forskellen mellem de to betaer skal vurderes mod deres fælles standardfejl frem for som et punktestimat.

Enkeltfaktorbeta som projektion i en flerfaktorverden

Når det datagenererende afkast afhænger af flere systematiske faktorer, er en enkeltfaktorbeta ikke den partielle følsomhed over for markedet, men en projektion, der opsamler eksponeringer mod udeladte, korrelerede faktorer. For et sandt forhold med to faktorer

\(r_i = \beta_1 f_1 + \beta_2 f_2 + \varepsilon\)

konvergerer hældningen fra en regression alene på f1 mod

\(\hat{\beta}_{enkelt} \rightarrow \beta_1 + \beta_2 \cdot \frac{\mathrm{Cov}(f_1,, f_2)}{\mathrm{Var}(f_1)}\)

Med en sand markedsfølsomhed på 0,90, en eksponering på 0,60 mod en anden faktor og en hjælperegressionshældning af denne faktor på markedet på 0,50 fås

\(0{,}90 + 0{,}60 \times 0{,}50 = 1{,}20\)

Det observerede beta på 1,20 overvurderer altså den rene markedsfølsomhed med 0,30, alene fordi den anden faktor selv samvarierer med markedet. Fortegnet på afvigelsen bestemmes af fortegnet på produktet af den udeladte eksponering og faktorernes indbyrdes samvariation. Konsekvensen er, at et enkelt beta ikke kan bruges til at isolere markedseksponering i porteføljer med systematisk stilhældning, og at afdækning baseret på et sådant estimat vil efterlade uafdækket eksponering mod de udeladte faktorer.

Fundamentale betaer, der udledes fra selskabskarakteristika frem for fra kurshistorik, omgår estimationsstøjen i tidsserien, men indfører i stedet modelrisiko i den valgte karakteristikafbildning. De to tilgange kombineres ofte, idet den fundamentale beta fungerer som prior i en shrinkage-struktur af samme form som ovenfor.

Beta i afdækning og porteføljestyring

Betas praktiske hovedanvendelse er dimensionering af systematisk eksponering. Antallet af indeksfutures, der neutraliserer en porteføljes markedsfølsomhed, følger af, at kontraktens beta over for indekset er 1,00:

\(N = \frac{\beta_p \times V_p}{F \times m}\)

hvor F er indeksniveauet og m kontraktmultiplikatoren. En portefølje på 500 mio. kr. med en beta på 1,15 giver en betajusteret eksponering på 575 mio. kr. Med et indeksniveau på 5.000 og en multiplikator på 100 kr. pr. indekspoint er kontraktværdien 500.000 kr., og afdækningen kræver

\(N = \frac{1{,}15 \times 500.000.000}{5.000 \times 100} = \frac{575.000.000}{500.000} = 1.150 \text{ kontrakter solgt}\)

Efter afdækning er porteføljens beta tilnærmelsesvis nul, og den tilbageværende risiko er den idiosynkratiske. Med en samlet porteføljevolatilitet på 20 % og en forklaringsgrad på 0,75 bliver restvolatiliteten

\(\sigma_{\varepsilon} = 20% \times \sqrt{1 – 0{,}75} = 20% \times 0{,}50 = 10%\)

svarende til en årlig standardafvigelse på 50 mio. kr. på den afdækkede position. Afdækningen fjerner altså halvdelen af volatiliteten målt i standardafvigelse og tre fjerdedele målt i varians, men den fjerner ikke selskabsspecifik risiko, og den er kun så præcis som betaestimatet selv. En fejl på 0,10 i beta svarer i eksemplet til 50 mio. kr. uafdækket markedseksponering.

Præcisionen begrænses yderligere af, at porteføljens beta ændrer sig mekanisk, når de underliggende positioners værdier bevæger sig forskelligt, hvilket kræver løbende rebalancering af afdækningen. Ved positioner i derivater skalerer eksponeringen desuden med instrumentets delta frem for direkte med den underliggende akties beta.

Indeksvalgets betydning

Beta er defineret i forhold til en bestemt referenceportefølje og er ikke en egenskab ved selskabet alene. Estimeres beta mod et snævert nationalt indeks domineret af få selskaber, mod et bredt regionalt indeks eller mod et globalt indeks, fremkommer forskellige tal for samme aktie, fordi både kovariansen og den normaliserende varians ændrer sig. For et selskab, der selv udgør en betydelig vægt i det valgte indeks, indgår dets egne udsving i referencen og trækker det estimerede beta mod 1,00 af rent mekaniske grunde.

Valget mellem et kapitalvægtet og et ligevægtet indeks har tilsvarende konsekvenser, idet et ligevægtet indeks har markant større eksponering mod mindre selskaber og dermed producerer systematisk anderledes betaer for både store og små selskaber. Ved værdiansættelse af selskaber med international investorbase og global kapitalomkostning bør referencen afspejle den relevante marginale investors alternativsæt, ikke blot noteringsstedets indeks.

Rolls kritik formaliserer det principielle problem: den sande markedsportefølje omfatter alle risikofyldte aktiver, herunder unoterede virksomheder, fast ejendom og humankapital, og er ikke observerbar. Ethvert empirisk beta er derfor målt mod en proxy, og både estimatets størrelse og de test, der bygger på det, er betinget af, at proxyen er tilstrækkeligt tæt på den uobserverbare reference.