Diversifikationsgrænsen ved mange aktiver

For en ligevægtet portefølje bestående af $n$ aktiver, hvor hvert aktiv udgør vægten $w_i = 1/n$, kan porteføljens varians udtrykkes som en funktion af aktivernes gennemsnitlige varians og deres gennemsnitlige parvise kovarians:

$${\sigma }_p^2=\frac{1}{n}{\bar{\sigma }}^2+\frac{n-1}{n}\overline{\text{Cov}}$$

hvor $\bar{\sigma}^2$ er den gennemsnitlige varians for de enkelte aktiver, og $\overline{\text{Cov}}$ er den gennemsnitlige kovarians mellem alle par af aktiver i porteføljen. Formlen viser, at bidraget fra de enkelte aktivers egen varians aftager, i takt med at $n$ vokser, mens bidraget fra den gennemsnitlige kovarians konvergerer mod selve kovariansen. Når $n \to \infty$, gælder derfor

$${\sigma }_p^2\to \overline{\text{Cov}}$$

hvilket betyder, at porteføljens risiko aldrig kan reduceres til nul, uanset hvor mange aktiver den består af, så længe aktiverne i gennemsnit samvarierer positivt. Denne grænseværdi definerer et risikogulv, der udgør den systematiske risiko og ikke kan fjernes ved yderligere diversifikation, mens forskellen mellem den oprindelige varians og dette gulv udgør den usystematiske risiko, som diversifikationen fjerner.

Antag, at samtlige aktiver i et univers har en varians på $\bar{\sigma}^2 = 0{,}04$, svarende til en standardafvigelse på 20 procent, og en gennemsnitlig parvis kovarians på $\overline{\text{Cov}} = 0{,}008$, svarende til en gennemsnitlig korrelation på $\rho = 0{,}008 / 0{,}04 = 0{,}2$. For $n=1$ er porteføljens standardafvigelse per definition 20 procent. For $n=10$bliver variansen

$${\sigma }_p^2=\frac{\mathrm{0,04}}{10}+\frac{9}{10}\times \mathrm{0,008}=\mathrm{0,0040}+\mathrm{0,0072}=\mathrm{0,0112}$$

svarende til en standardafvigelse på cirka 10,58 procent. For $n=50$ bliver variansen

$${\sigma }_p^2=\frac{\mathrm{0,04}}{50}+\frac{49}{50}\times \mathrm{0,008}=\mathrm{0,0008}+\mathrm{0,00784}=\mathrm{0,00864}$$

svarende til en standardafvigelse på cirka 9,30 procent, og for $n \to \infty$ konvergerer standardafvigelsen mod $\sqrt{0{,}008} \approx 8{,}94\%$. Størstedelen af risikoreduktionen er allerede opnået ved relativt få aktiver, mens de sidste procentpoint af reduktion kræver en betydeligt større udvidelse af porteføljen, hvilket illustrerer diversifikationens aftagende grænsenytte.

Korrelationers opførsel under markedsstress

Den gennemsnitlige kovarians, der udgør risikogulvet i formlen ovenfor, er ikke konstant over tid. Under normale markedsforhold kan korrelationen mellem risikofyldte aktiver ligge på et moderat niveau, men under bredt funderede kriser, hvor likviditet trækkes ud af markederne samtidig med, at investorer reducerer risikoeksponering på tværs af aktivklasser, har korrelationerne en tendens til at stige markant. Begivenheder som finanskrisen i 2008 illustrerer, hvordan aktiver, der historisk har bevæget sig relativt uafhængigt af hinanden, kan begynde at bevæge sig ensrettet, netop når risikoreduktion er mest tiltrængt.

Antag, at den gennemsnitlige korrelation i eksemplet ovenfor stiger fra 0,2 i normale perioder til 0,7 under markedsstress, mens de enkelte aktivers varians forbliver uændret på 0,04. Kovariansen bliver da $\overline{\text{Cov}} = 0{,}7 \times 0{,}04 = 0{,}028$, og risikogulvet for en bredt diversificeret portefølje stiger til $\sqrt{0{,}028} \approx 16{,}73\%$, altså tæt på de enkelte aktivers egen standardafvigelse på 20 procent. Diversifikationens beskyttende effekt indskrænkes dermed kraftigt i netop de perioder, hvor investorer har størst behov for den, et fænomen der betegnes korrelationssammenbrud.

Faktordiversifikation

Diversifikation, der alene måles på antallet af enkeltpositioner i en portefølje, kan være misvisende, hvis de underliggende positioner i realiteten er eksponeret mod de samme risikofaktorer. En portefølje bestående af hundrede aktier, der alle er stærkt eksponeret mod samme faktor, som eksempelvis værdi, størrelse eller momentum i den forstand disse faktorer defineres i Fama-French-modellen, opnår langt mindre reel risikospredning, end det høje antal positioner umiddelbart antyder. Reel diversifikation forudsætter derfor spredning på tværs af faktoreksponeringer og ikke blot på tværs af navne på enkeltselskaber.

Overdiversifikation

Der findes et punkt, hvor yderligere spredning giver aftagende og til sidst forsvindende risikoreduktion, mens omkostninger til handel, overvågning og research vokser proportionalt med antallet af positioner. Denne tilstand, hvor porteføljen indeholder flere positioner end nødvendigt for at opnå den tilgængelige risikoreduktion, betegnes overdiversifikation, hvilket kan medføre, at porteføljens afkast nærmer sig et bredt markedsindeks, samtidig med at forvaltningsomkostningerne forbliver højere end for en simpel indeksering.

International diversifikation

Fordi nationale økonomier ikke er perfekt korrelerede med hinanden, kan geografisk spredning reducere den del af den systematiske risiko, der er knyttet til forhold i et enkelt land, som pengepolitik, finanspolitik og lokale konjunkturudsving. En sådan spredning introducerer samtidig valutarisiko, i det omfang investeringerne ikke afdækkes, hvilket kan modvirke en del af risikoreduktionen. Et velkendt fænomen i forlængelse heraf er hjemlandsbias, hvor investorer overvægter aktiver fra eget hjemland i forhold til, hvad en fuldt optimeret global portefølje ville tilsige. Fænomenet begrænser den diversifikationsgevinst, der ellers ville være tilgængelig gennem en bredere geografisk allokering.