Matrixformulering af optimeringsproblemet

For n aktiver udtrykkes porteføljens forventede afkast og varians kompakt ved hjælp af matrixalgebra. Lad vægtvektoren indeholde hvert aktivs andel af porteføljen, forventningsvektoren indeholde hvert aktivs forventede afkast, og kovariansmatricen indeholde alle aktivers varianser på diagonalen og deres parvise kovarianser uden for diagonalen.

\(E(R_p) = w^{T} \mu\)

\(\sigma_p^2 = w^{T} \Sigma w\)

Markowitz’ optimeringsproblem består i at finde den vægtvektor, der minimerer porteføljens varians for et givet forventet afkast, under bibetingelsen om, at vægtene summerer til 1.

\(\min_{w} \quad \frac{1}{2} w^{T} \Sigma w\)

\(\text{under} \quad w^{T} \mu = \mu_p \quad \text{og} \quad w^{T} \mathbf{1} = 1\)

Faktoren en halv foran variansudtrykket er en beregningsteknisk konvention, der forenkler førsteordensbetingelserne uden at ændre løsningen.

Med tre aktiver, hvor aktiv A har en standardafvigelse på 20 procent, aktiv B på 15 procent og aktiv C på 10 procent, og hvor de parvise korrelationer er 0,3 mellem A og B, 0,1 mellem A og C samt 0,4 mellem B og C, bliver kovariansmatricen følgende:

\(\Sigma = \begin{pmatrix} 0{,}0400 & 0{,}0090 & 0{,}0020 \ 0{,}0090 & 0{,}0225 & 0{,}0060 \ 0{,}0020 & 0{,}0060 & 0{,}0100 \end{pmatrix}\)

Med en vægtfordeling på 50 procent i aktiv A, 30 procent i aktiv B og 20 procent i aktiv C udregnes porteføljens varians ved at summere alle ni led i matrixproduktet:

\(\sigma_p^2 = 0{,}5^2 \times 0{,}04 + 0{,}3^2 \times 0{,}0225 + 0{,}2^2 \times 0{,}01 + 2 \times 0{,}5 \times 0{,}3 \times 0{,}009 + 2 \times 0{,}5 \times 0{,}2 \times 0{,}002 + 2 \times 0{,}3 \times 0{,}2 \times 0{,}006\)

\(\sigma_p^2 = 0{,}01 + 0{,}002025 + 0{,}0004 + 0{,}0027 + 0{,}0004 + 0{,}00072 = 0{,}016245\)

\(\sigma_p = \sqrt{0{,}016245} \approx 12{,}75%\)

Det vejede gennemsnit af de tre aktivers enkeltstående standardafvigelser udgør 16,5 procent. Forskellen til porteføljens faktiske standardafvigelse på 12,75 procent, svarende til 3,75 procentpoint, er diversifikationsgevinsten, der opstår, fordi ingen af de tre parvise korrelationer er lig 1.

Lagrange-betingelser og den effektive rands geometri

Optimeringsproblemet løses ved at opstille Lagrange-funktionen med to multiplikatorer, λ for afkastbibetingelsen og γ for budgetbibetingelsen.

\(L = \frac{1}{2} w^{T} \Sigma w – \lambda (w^{T} \mu – \mu_p) – \gamma (w^{T} \mathbf{1} – 1)\)

Førsteordensbetingelsen med hensyn til vægtvektoren giver

\(\Sigma w = \lambda \mu + \gamma \mathbf{1}\)

\(w^{*} = \lambda \Sigma^{-1} \mu + \gamma \Sigma^{-1} \mathbf{1}\)

Den optimale vægtvektor for ethvert målniveau for afkast er dermed en linearkombination af to faste vektorer: den inverse kovariansmatrix ganget med forventningsvektoren, og den inverse kovariansmatrix ganget med en vektor bestående udelukkende af ettaller. Resultatet kaldes to-fonds-separationsteoremet: enhver portefølje på den effektive rand kan reproduceres som en kombination af blot to specifikke porteføljer på randen, uanset den enkelte investors målsatte afkastniveau. Hele randen kan dermed udspændes af to referenceporteføljer, hvilket gør det muligt at tilbyde et begrænset antal fonde og lade investorer selv fastlægge fordelingen mellem dem for at opnå enhver ønsket kombination af risiko og afkast langs randen.

Indsættes løsningen for vægtvektoren i de to bibetingelser, kan multiplikatorerne udtrykkes som lineære funktioner af det målsatte afkast, hvilket betyder, at porteføljevariansen selv bliver en kvadratisk funktion af det forventede afkast:

\(\sigma_p^2 = a \mu_p^2 + b \mu_p + c\)

hvor koefficienterne a, b og c er bestemt af forventningsvektoren, kovariansmatricen og enhedsvektoren. Afbildes den effektive rand med varians på den ene akse og forventet afkast på den anden, danner den en parabel, og afbildes den i stedet med standardafvigelse på aksen, danner den samme rand en hyperbelgren. Toppunktet på parablen, henholdsvis det yderste venstre punkt på hyperbelgrenen, svarer til minimum-varians-porteføljen, hvor det generelle system reduceres til specialtilfældet med blot to aktiver. Tilføjes et risikofrit aktiv til investeringsuniverset, ændrer den effektive rand karakter fra en hyperbelgren til en ret linje, hvilket knytter rammen direkte til kapitalallokeringslinjen og kapitalværdiprismodellen.

Modelforudsætninger, estimationsusikkerhed og praktiske grænser

Rammen bygger på en antagelse om, at investorers præferencer fuldt ud kan beskrives ved forventet afkast og varians alene. Denne antagelse er kun forenelig med generel forventet nytteteori under to betingelser: enten at aktivernes afkast følger en normalfordeling eller en anden elliptisk fordeling, så hele fordelingen er entydigt bestemt af de to første momenter, eller at investorens nyttefunktion er kvadratisk, så kun de to første momenter indgår i nyttevurderingen uanset afkastenes faktiske fordeling. Begge betingelser har svagheder: en kvadratisk nyttefunktion indebærer stigende absolut risikoaversion og et mætningspunkt, hvor yderligere formue reducerer nytten, hvilket strider mod almindelig økonomisk intuition om aftagende risikoaversion, mens normalfordelingsantagelsen ser bort fra skævhed og tunge haler, som empirisk optræder for mange aktivklasser.

Rammens følsomhed over for estimationsfejl i input udgør en central praktisk begrænsning. Optimeringen behandler de estimerede forventede afkast og den estimerede kovariansmatrix, som om de var kendt med sikkerhed, men begge størrelser estimeres ud fra historiske data med betydelig statistisk usikkerhed. Fordi forventede afkast indgår lineært i målfunktionen, mens kovariansstrukturen alene definerer risikoen, har optimeringsalgoritmen en tendens til at overvægte aktiver, hvis forventede afkast tilfældigt er estimeret højt, og undervægte eller shorte aktiver med lavt estimeret afkast, hvilket giver ekstreme og ustabile vægtfordelinger, der ændrer sig markant ved små justeringer i inputdata. Denne følsomhed adresseres blandt andet gennem Black-Litterman-modellen, der kombinerer markedets implicitte ligevægtsafkast med forvalterens egne synspunkter i en bayesiansk ramme, samt gennem forskellige former for shrinkage-estimation af kovariansmatricen.

Endelig er rammen enperiodisk og behandler varians som et symmetrisk risikomål, der vægter afvigelser over og under det forventede afkast ens. Investorer, hvis nyttefunktion primært straffer nedadgående afvigelser, kan derfor finde variansbaseret optimering utilstrækkelig, hvilket har motiveret alternative rammer baseret på semivarians og andre nedadrettede risikomål.