Risikoens højere momenter: skævhed og kurtosis

Risiko er fuldt ud beskrevet af den underliggende sandsynlighedsfordeling for afkastet, og variansen udgør alene fordelingens andet moment. Fordelingens tredje moment, skævheden, måler asymmetrien mellem udfald over og under det forventede afkast og beregnes som

 

$$\text{Skævhed}=\frac{E[(R-\mu {)}^3]}{{\sigma }^3}$$

 

En negativ skævhed indikerer, at store negative afvigelser forekommer hyppigere eller er mere ekstreme end store positive afvigelser, selv når standardafvigelsen er uændret. Fordelingens fjerde moment, kurtosis, måler tykkelsen af fordelingens haler og beregnes som

 

$$\text{Kurtosis}=\frac{E[(R-\mu {)}^4]}{{\sigma }^4}$$

 

En normalfordeling har en kurtosis på 3, og en kurtosis herover, kaldet excess kurtosis, indikerer, at ekstreme udfald forekommer hyppigere, end variansen alene ville tilsige. Et risikomål baseret udelukkende på standardafvigelsen undervurderer dermed den reelle sandsynlighed for ekstreme tab, når fordelingen afviger fra normalfordelingen, hvilket er relevant for haleorienterede risikomål som Value at Risk og Expected Shortfall.

Dekomponering af risiko i markedsmodellen

Den samlede risiko på et enkelt aktiv kan dekomponeres matematisk ved hjælp af markedsmodellen, hvor et aktivs afkast udtrykkes som en lineær funktion af markedsafkastet:

 

$$R_i={\alpha }_i+{\beta }_i{R}_m+{ϵ}_i$$

 

Under antagelse af, at residualet

$\epsilon_i$

​ er ukorreleret med markedsafkastet, kan aktivets samlede varians opdeles som

 

$${\sigma }_i^2={\beta }_i^2{\sigma }_m^2+{\sigma }_{{ϵ}_i}^2$$

 

hvor det første led udgør den systematiske risiko, og det andet led udgør den usystematiske risiko. Antages en beta på 1,2, en markedsstandardafvigelse på 15 procent og en samlet standardafvigelse på aktivet på 25 procent, kan den systematiske varians beregnes som

 

$${\beta }_i^2{\sigma }_m^2=(\mathrm{1,2}{)}^2\times (\mathrm{0,15}{)}^2=\mathrm{1,44}\times \mathrm{0,0225}=\mathrm{0,0324}$$

 

hvilket svarer til en systematisk standardafvigelse på 18 procent. Den usystematiske varians følger residualt af den samlede varians:

 

$${\sigma }_{{ϵ}_i}^2={\sigma }_i^2-{\beta }_i^2{\sigma }_m^2=(\mathrm{0,25}{)}^2-\mathrm{0,0324}=\mathrm{0,0625}-\mathrm{0,0324}=\mathrm{0,0301}$$

 

svarende til en usystematisk standardafvigelse på cirka 17,35 procent. De to komponenter summer korrekt til den samlede varians på 0,0625, det vil sige en samlet standardafvigelse på 25 procent.

Diversificeringens effekt på den usystematiske risiko

Den usystematiske komponent af risikoen reduceres systematisk, når flere aktiver med ukorrelerede residualer samles i en portefølje. Under antagelse af ligevægtning og uafhængige residualer med samme varians

$\sigma_\epsilon^2$

skalerer porteføljens usystematiske varians med antallet af aktiver

$N$

som

 

$${\sigma }_{ϵ,p}^2=\frac{{\sigma }_{ϵ}^2}{N}$$

 

Med en usystematisk standardafvigelse på 17,35 procent for det enkelte aktiv fra eksemplet ovenfor og en portefølje bestående af 100 sådanne uafhængige aktiver bliver porteføljens usystematiske standardafvigelse

 

$${\sigma }_{ϵ,p}=\frac{\mathrm{17,35}\mathrm{\%}}{\sqrt{100}}=\frac{\mathrm{17,35}\mathrm{\%}}{10}=\mathrm{1,735}\mathrm{\%}$$

 

Den systematiske komponent forbliver upåvirket af denne proces, fordi den stammer fra en fælles faktor, der påvirker samtlige aktiver i porteføljen samtidig og derfor ikke kan udjævnes gennem sammensætning af flere aktiver.

Risikoskalering over tid: kvadratrodsreglen

Risiko målt som standardafvigelse skalerer med kvadratroden af tidshorisonten under antagelse af uafhængige og identisk fordelte afkast over de enkelte perioder:

 

$${\sigma }_T=\sigma \sqrt{T}$$

 

En daglig standardafvigelse på 1,2 procent svarer under denne antagelse til en årlig standardafvigelse på

 

$${\sigma }_{\mathring{\text{a}}\text{r}}=\mathrm{1,2}\mathrm{\%}\times \sqrt{252}\approx \mathrm{1,2}\mathrm{\%}\times \mathrm{15,87}\approx \mathrm{19,05}\mathrm{\%}$$

 

ved brug af 252 handelsdage om året. Reglen forudsætter fravær af autokorrelation i afkastserien, og forudsætningen brydes typisk under volatilitetsklyngedannelse, hvor perioder med høj og lav risiko har tendens til at optræde samlet, en dynamik der formaliseres i modeller som GARCH.

Volatilitetsdrag: risikoens effekt på det sammensatte afkast

Risiko påvirker ikke kun spredningen omkring et enkeltperiodeafkast, men reducerer også det realiserede sammensatte afkast over flere perioder sammenlignet med det simple gennemsnitlige afkast. Sammenhængen kan tilnærmes ved

 

$$g\approx \mu -\frac{{\sigma }^2}{2}$$

 

hvor

$\mu$

er det aritmetiske gennemsnitsafkast, og

$g$

er det tilnærmede geometriske, sammensatte afkast. Med et aritmetisk gennemsnitsafkast på 10 procent og en standardafvigelse på 25 procent bliver reduktionen

 

$$\frac{{\sigma }^2}{2}=\frac{(\mathrm{0,25}{)}^2}{2}=\frac{\mathrm{0,0625}}{2}=\mathrm{0,03125}$$

 

hvilket giver et tilnærmet geometrisk afkast på

$10\% – 3{,}125\% = 6{,}875\%$

. Jo højere risiko, desto større bliver kløften mellem det aritmetiske og det geometriske afkast, hvilket betyder, at højrisikoaktiver over lange tidshorisonter kan give et lavere realiseret sammensat afkast, end det aritmetiske gennemsnit umiddelbart antyder.

Risikokompensation i ligevægt

Den usystematiske komponent af risikoen kan i princippet elimineres omkostningsfrit gennem diversifikation, hvilket ligger til grund for den generelle antagelse i ligevægtsprisfastsættelsesmodeller om, at markedet ikke kompenserer investorer for at bære en type risiko, de kunne have undgået. Alene den systematiske, ikke-diversificerbare komponent af risikoen antages derfor at blive kompenseret med en positiv forventet risikopræmie i ligevægt, en sammenhæng der formaliseres i modeller som CAPM og arbitrage pricing theory, hvor risici prisfastsættes efter deres bidrag til den systematiske del af den samlede risiko.