Tranchen som et call spread på poolens tab

Tabsallokeringen til en tranche med attachment point a og detachment point d er en deterministisk funktion af puljens akkumulerede tab L:

\(L_{[a,,d]} = \frac{\min\left(L,\ d\right) – \min\left(L,\ a\right)}{d – a}\)

Udtrykket er et bear call spread på puljens tabsvariabel, idet tællerens payoff kan skrives som differencen mellem to knækkede funktioner:

\(\left(L – a\right)^{+} – \left(L – d\right)^{+}\)

Det forventede tranchetab afhænger derfor kun af tabsfordelingens hale mellem de to punkter og kan udtrykkes ved fordelingsfunktionen:

\(E\left[L_{[a,,d]}\right] = \frac{1}{d – a}\int_{a}^{d} \left(1 – F_L\left(x\right)\right) dx\)

Følsomheden over for et marginalt tab i puljen er konstant inden for laget og nul udenfor:

\(\frac{\partial L_{[a,d]}}{\partial L} = \frac{\mathbf{1}\left\{a < L < d\right\}}{d – a}\)

For klasse C med en tykkelse på 4 procentpoint svarer det til en effektiv gearing på 25 gange, mens klasse B med 8 procentpoints tykkelse gearer 12,5 gange. Tynde mezzanintrancher er dermed diskontinuerte i deres risikoprofil: de opfører sig som en næsten risikofri obligation, indtil tabene nærmer sig attachment point, hvorefter værdien falder bort over et snævert interval. Det er kilden til den kliknatur, der præger både ratingmigration og kapitalkrav på sådanne positioner.

Break-even-tabsraten for en klasse følger af, at det realiserede tab er produktet af den kumulative misligholdelsesrate og tabsgraden. Med en genindvindingsrate på 60 procent kræver et gennembrud af klasse A’s attachment point på 15 procent:

\(d_{\text{BE}} = \frac{a}{1 – R} = \frac{15,%}{0{,}40} = 37{,}5,%\)

Korrelationens fordeling af tab mellem trancherne

Puljens forventede tab er uafhængigt af misligholdelsernes indbyrdes afhængighed, mens fordelingen af det tab mellem trancherne ikke er det. En stiliseret pulje af to lige store lån med hver 10 procents misligholdelsessandsynlighed og fuld tabsgrad giver følgende tabsfordeling:

\(\begin{array}{lcc}
\text{Poolens tab} & \text{Uafhængighed} & \text{Fuld korrelation} \
0,% & 0{,}81 & 0{,}90 \
50,% & 0{,}18 & 0{,}00 \
100,% & 0{,}01 & 0{,}10
\end{array}\)

Det forventede tab på puljen er 10 procent i begge tilfælde:

\(E\left[L\right] = 0{,}18 \cdot 50,% + 0{,}01 \cdot 100,% = 10,%\)

Under uafhængighed bliver trancherne ramt således:

\(E\left[L_{[0;,50]}\right] = \frac{0{,}18 \cdot 50 + 0{,}01 \cdot 50}{50} = 19,% \qquad E\left[L_{[50;,100]}\right] = \frac{0{,}01 \cdot 50}{50} = 1,%\)

Under fuld korrelation kollapser fordelingen til to udfald, og begge trancher får samme forventede tab:

\(E\left[L_{[0;,50]}\right] = E\left[L_{[50;,100]}\right] = \frac{0{,}10 \cdot 50}{50} = 10,%\)

Juniortranchen er dermed lang korrelation, og seniortranchen er kort korrelation. Stigende afhængighed mellem låntagerne flytter sandsynlighedsmasse fra midten af fordelingen ud i begge haler: sandsynligheden for slet ingen tab stiger, og sandsynligheden for ekstreme tab stiger, mens de moderate udfald forsvinder. Prisfastsættelse af de enkelte klasser hviler derfor på en antagelse om afhængighedsstrukturen, ofte formuleret gennem en enkeltfaktormodel eller en Gaussisk copula, og en seniortranches risiko er per konstruktion koncentreret i systematiske tilstande. Det forklarer, hvorfor spændet på en seniorklasse er markant bredere, end dens forventede tab isoleret set tilsiger: den udbetaler præcis intet i de scenarier, hvor kapital er dyrest.

Vandfaldets tests og dynamisk kreditforbedring

Strukturens robusthed opretholdes af tests, der måles på hver betalingsdato. Overkollateraliseringstesten sammenholder sikkerhedsmassens saldo med den udestående seniorgæld:

\(\text{OC} = \frac{\text{Sikkerhedsmassens saldo}}{\text{Udestående seniorgæld}}\)

Med udgangspunkt i strukturen ovenfor er den indledende værdi 1.000 divideret med 850, altså 117,6 procent, mod en grænse på 115 procent. Realiserede tab på 40 millioner bringer testen under grænsen:

\(\frac{960}{850} = 112{,}9,% \ < \ 115,%\)

Konsekvensen er, at renteoverskuddet omdirigeres fra de efterstillede klasser til afdrag på seniorklassen, indtil testen igen er opfyldt. Da betalingen sker af renteindtægter, reduceres nævneren uden at tælleren berøres:

\(\frac{960}{850 – x} = 1{,}15 \quad \Rightarrow \quad x = 850 – \frac{960}{1{,}15} = 15{,}22 \ \text{mio.}\)

Med en årlig excess spread på 29,8 millioner kan bruddet helbredes på cirka et halvt år, forudsat at tabene ikke fortsætter. Renteoverdækningstesten fungerer parallelt på pengestrømssiden:

\(\text{IC} = \frac{70{,}0 – 7{,}5}{25{,}5} = 2{,}45\)

Kreditforbedringen er ikke statisk. Under sekventiel amortisering falder seniorgælden hurtigere end sikkerhedsmassen, hvorfor subordinationen målt i procent vokser over tid. Efter 200 millioners afdrag udelukkende til klasse A udgør puljen 800 millioner og klasse A 650 millioner:

\(\frac{150}{800} = 18{,}75,%\)

Denne opbygning er hele begrundelsen for, at pro rata-fordeling typisk er betinget af, at samtlige tests er opfyldt, og at strukturen skifter permanent til sekventiel fordeling ved brud. Skiftet virker som en indbygget deleveraging-mekanisme, der beskytter seniorklassen netop i det øjeblik, hvor puljen viser svaghedstegn, og som samtidig forlænger de efterstillede klassers levetid på det værst tænkelige tidspunkt.

Kontantstrømsmodellering

Puljens adfærd modelleres ved konstante årlige rater, der omregnes til månedlige. Førtidsindfrielser udtrykkes ved en konstant indfrielsesrate og omregnes til den månedlige indfrielsesrate:

\(\text{SMM} = 1 – \left(1 – \text{CPR}\right)^{1/12}\)

Ved en årlig rate på 12 procent giver det:

\(\text{SMM} = 1 – \left(1 – 0{,}12\right)^{1/12} = 1 – 0{,}9894 = 1{,}06,%\)

Misligholdelser behandles symmetrisk med en konstant årlig misligholdelsesrate omregnet til månedlig rate:

\(\text{MDR} = 1 – \left(1 – 0{,}03\right)^{1/12} = 0{,}2535,%\)

Det månedlige tab fremkommer ved at multiplicere med den udestående saldo og tabsgraden:

\(\text{Tab}m = \text{MDR} \cdot B{m-1} \cdot \left(1 – R\right)\)

På en uændret saldo på 1.000 millioner og med 60 procents genindvinding giver det 1,014 millioner om måneden, svarende til godt 12 millioner om året. Beløbet ligger under den årlige excess spread på 29,8 millioner, hvorfor strukturen absorberer tabene løbende uden at røre ved kapitalstrukturen. Modelleringen skal derudover tage højde for genindvindingsforsinkelse, da inddrivelse tager tid, og for at indfrielser og misligholdelser konkurrerer om den samme saldo: hurtige indfrielser reducerer det beløb, der senere kan misligholde, men fjerner samtidig den rentemarginal, som finansierer kreditforbedringen. Netop denne vekselvirkning gør en sekventiel seniorklasse negativt konveks over for renteændringer, idet den forkortes, når renten falder, og forlænges, når renten stiger.

Risikooverførsel og strukturelle incitamenter

Regnskabsmæssig afgang af aktiverne afhænger af, om væsentlige risici og fordele er overført, og subsidiært af, hvem der har kontrol over aktiverne. Tilbageholdt førstetabsrisiko, garantier eller tilbagekøbsforpligtelser kan medføre, at puljen forbliver på balancen, uanset at der juridisk er sket et salg. Tilsynsmæssig kapitallettelse forudsætter tilsvarende en dokumenteret væsentlig risikooverførsel, som opgøres på tranchernes fordeling af forventede og uventede tab, og som falder bort, hvis originatoren reelt bevarer eksponeringen gennem sidestående aftaler.

Den centrale strukturelle svaghed ligger i informationsasymmetrien. Originatoren kender lånenes kvalitet bedre end investorerne og har ved videresalg en tilskyndelse til at udvælge de svageste eksponeringer til puljen samt til at slække på kreditvurderingen på nye lån. Modvægten består i krav om, at originatoren beholder en andel af risikoen i hver transaktion, i standardiseret rapportering på lånniveau og i tilbagekøbsforpligtelser ved brud på de garantier, der er afgivet om lånenes egenskaber. Hertil kommer, at servicerens honorar typisk er en procentsats af den udestående saldo, hvilket ikke i sig selv belønner en effektiv inddrivelse, og at ratings på tynde trancher reagerer uforholdsmæssigt kraftigt på små justeringer i de antagne tabs- og korrelationsparametre.