Eksistens af Nash-ligevægt og bedste-respons-korrespondancer

Bedste-respons-korrespondancen for spiller i, betegnet b_i, afbilder de øvrige spilleres strategivalg over på mængden af spillerens egne optimale modtræk:

\(
b_i(s_{-i}) = \arg\max_{s_i \in S_i} u_i(s_i, s_{-i})
\)

En Nash-ligevægt er ækvivalent med et fikspunkt for den samlede korrespondance B, defineret ved B(s) = b_1(s_{-1}) × b_2(s_{-2}) × … × b_n(s_{-n}), i den forstand at s* er en ligevægt, hvis og kun hvis s* er indeholdt i B(s*). I endelige spil med udelukkende rene strategier er b_i ikke nødvendigvis konveksværdi, hvilket kan gøre eksistensen af et fikspunkt usikker. Udvides strategirummet til sandsynlighedsfordelinger over de rene strategier, bliver strategirummet et konvekst og kompakt simpleks, og bedste-respons-korrespondancen bliver konveksværdi og øvre hemikontinuert. Disse egenskaber opfylder betingelserne i Kakutanis fikspunktsætning, som garanterer eksistensen af mindst ét fikspunkt og dermed mindst én Nash-ligevægt i blandede strategier for ethvert endeligt spil. Dette resultat, som stammer fra John Nash’s arbejde i begyndelsen af 1950’erne, er grunden til, at eksistens af ligevægt sjældent er det centrale spørgsmål i anvendt spilteori; det centrale spørgsmål er i stedet, hvor mange ligevægte der findes, og hvilken af dem der er den relevante forudsigelse.

Blandede strategier og indifferensprincippet

Beregning af en blandet Nash-ligevægt hviler på indifferensprincippet: i en blandet ligevægt skal hver spiller være indifferent mellem alle de rene strategier, der indgår med positiv sandsynlighed i egen blandede strategi, fordi enhver anden fordeling af sandsynlighed ville give spilleren et incitament til at lægge al vægt på den bedste rene strategi frem for at blande. To algoritmiske handelsstrategier, A og B, skal hver vælge at indsende ordrer enten tidligt eller sent i handelskøen. Vælger begge samme timing, opnår strategi A en fordel på 1 enhed, mens B taber 1 enhed; vælger de forskellig timing, vinder B 1 enhed, mens A taber 1 enhed. Udbyttematricen, med A’s udbytte angivet først, er:

\(
\begin{array}{c|cc}
& \text{B: Tidligt} & \text{B: Sent} \\
\hline
\text{A: Tidligt} & (1,\ -1) & (-1,\ 1) \\
\text{A: Sent} & (-1,\ 1) & (1,\ -1)
\end{array}
\)

Spillet har ingen ligevægt i rene strategier, da hver spiller altid ønsker at afvige, så snart modpartens valg er kendt. Lad q betegne sandsynligheden for, at B vælger tidligt. A’s forventede udbytte ved selv at vælge tidligt er:

\(
q \cdot 1 + (1 – q) \cdot (-1) = 2q – 1
\)

og A’s forventede udbytte ved at vælge sent er:

\(
q \cdot (-1) + (1 – q) \cdot 1 = 1 – 2q
\)

A er indifferent, når de to udtryk er lig hinanden:

\(
2q – 1 = 1 – 2q \ \Rightarrow \ q = \frac{1}{2}
\)

Ved samme argumentation anvendt på B’s indifferensbetingelse findes sandsynligheden p for, at A vælger tidligt, også til en halv. Den blandede Nash-ligevægt består derfor i, at begge parter randomiserer med lige sandsynlighed, hvilket giver et forventet udbytte på 0 til hver, uanset egen fordeling, så længe modpartens fordeling fastholdes på en halv. Denne nulsumsstruktur er kendetegnende for situationer, hvor forudsigelighed i sig selv er en sårbarhed, hvilket gør blandede strategier relevante i sammenhænge som ordreudførelse og prisstillelse, hvor systematisk, forudsigelig adfærd kan udnyttes af modparter.

Delspilsperfekt ligevægt og et-trins-afvigelsesprincippet

En strategikombination udgør en delspilsperfekt ligevægt, hvis den inducerer en Nash-ligevægt i ethvert delspil af det oprindelige spil, ikke kun i spillet betragtet fra begyndelsen. Kravet eliminerer ikke-troværdige trusler og løfter, det vil sige adfærd, som en spiller ville foretrække at afvige fra, hvis den pågældende knude faktisk blev nået, som illustreret ved bankens manglende interesse i at føre priskrig, hvis indtrængen faktisk fandt sted. I spil med et endeligt antal træk kan delspilsperfekte ligevægte findes ved bagudinduktion, men i spil med uendelig eller ubestemt horisont, som gentagne spil med diskontering, findes intet sidste træk at starte bagfra ved. Her anvendes i stedet et-trins-afvigelsesprincippet: en strategikombination er delspilsperfekt, hvis og kun hvis ingen spiller i noget informationssæt kan forbedre sit udbytte ved at afvige fra sin foreskrevne handling i præcis én periode og derefter vende tilbage til den oprindelige strategi. Princippet reducerer en potentielt uendelig mængde mulige afvigelser til en kontrollerbar test af enkeltstående afvigelser, fordi enhver profitabel, mere kompliceret afvigelse i en diskonteret sammenhæng kan vises at indeholde mindst én profitabel etperiodesafvigelse.

Gentagne spil, diskonteringsfaktoren og samarbejde

I et gentaget spil spilles det samme etperiodesspil gentagne gange, og hver spillers samlede udbytte er den diskonterede sum af udbytterne i hver periode. Med en diskonteringsfaktor δ mellem 0 og 1 værdisættes en uendelig strøm af periodiske udbytter x_0, x_1, x_2, … som:

\(
\sum_{t=0}^{\infty} \delta^{t} x_{t}
\)

Betragt to virksomheder, der hver periode, med udbytter målt i mio. kr., vælger mellem at samarbejde om en høj pris eller afvige til en lav pris. Samarbejder begge, opnår hver et periodisk udbytte på C = 10. Afviger den ene alene, mens den anden samarbejder, opnår den afvigende virksomhed D = 15, mens den samarbejdende opnår S = 2. Afviger begge samtidig, opnår hver N = 5, svarende til den etperiodes Nash-ligevægt i spillet uden gentagelse. Rækkefølgen D > C > N > S, her 15 > 10 > 5 > 2, er kendetegnende for denne spilstruktur.

Under en grim trigger-strategi samarbejder hver virksomhed, indtil modparten afviger for første gang, hvorefter virksomheden afviger permanent som straf. Værdien af at samarbejde for evigt er:

\(
V_{\text{samarbejde}} = \frac{C}{1 – \delta}
\)

Værdien af at afvige i indeværende periode og derefter blive straffet med den etperiodes Nash-ligevægt for evigt er:

\(
V_{\text{afvigelse}} = D + \frac{\delta N}{1 – \delta}
\)

Samarbejde er understøttet som en delspilsperfekt ligevægt, når V_samarbejde er mindst lige så stor som V_afvigelse. Ved at sætte udtrykkene lig hinanden og isolere δ fremkommer den kritiske diskonteringsfaktor:

\(
\frac{C}{1 – \delta} \geq D + \frac{\delta N}{1 – \delta} \ \Rightarrow \ \delta \geq \frac{D – C}{D – N}
\)

Med de anvendte tal bliver den kritiske værdi:

\(
\delta \geq \frac{15 – 10}{15 – 5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}
\)

Så længe virksomhedernes fælles diskonteringsfaktor er mindst en halv, kan samarbejdet opretholdes som en delspilsperfekt ligevægt, fordi enhver etperiodesafvigelse ifølge et-trins-afvigelsesprincippet udløser en straf, hvis nutidsværdi mere end opvejer den kortsigtede gevinst ved afvigelsen. Falder diskonteringsfaktoren under denne tærskel, foretrækkes afvigelse i enhver periode, og den eneste delspilsperfekte ligevægt bliver gensidig afvigelse i samtlige perioder. Denne mekanik er kernen i det, der i litteraturen omtales som folketeoremet: udsigten til fremtidigt samkvem og troværdig gengældelse kan i sig selv gøre samarbejdsudfald selvhåndhævende, uden behov for en ekstern håndhævende myndighed.

Spil med asymmetrisk information: Bayesiansk ligevægt

I spil med asymmetrisk information kender hver spiller sin egen type, men ikke nødvendigvis modpartens, hvilket Harsanyi formaliserede ved at indføre et typerum og en fælles kendt sandsynlighedsfordeling over typekombinationer. Et Bayesiansk spil udvider normalformen med en typemængde for hver spiller, og hver spillers strategi bliver en funktion, der afbilder egen type over på en handling snarere end blot ét fast valg. En Bayesiansk Nash-ligevægt kræver, at hver spiller for hver mulig egen type maksimerer sit forventede udbytte, beregnet under spillerens opdaterede overbevisning om modpartens type, givet at alle øvrige spillere følger deres ligevægtsstrategier. I dynamiske spil med asymmetrisk information, hvor en spiller handler før modparten svarer, skærpes ligevægtsbegrebet til en perfekt Bayesiansk ligevægt, som kræver et konsistent sæt af overbevisninger for hvert informationssæt sammen med strategier, der er optimale givet disse overbevisninger, også i informationssæt, der ikke nås under selve ligevægtsspillet.

En långiver kan ikke direkte observere, om en låntager er af høj kvalitet H eller lav kvalitet L, men en priorfordeling angiver, at 60 procent af populationen er af type H. Låntageren ansøger om et lån på 100 mio. kr., og långiveren tilbyder enten en lav rente på 4 procent eller en høj rente på 10 procent, afhængigt af hvilken type långiveren tror sig overfor. Rentespændet svarer til en besparelse for låntageren på 6 mio. kr. over lånets løbetid. Låntageren kan inden ansøgningen stille sikkerhed for et beløb K, og omkostningen ved dette antages at udgøre halvdelen af beløbet for type H og halvanden gange beløbet for type L, målt i mio. kr., fordi en låntager med stabil indtjening har en lavere alternativomkostning ved at binde kapital. Långiveren tilbyder den lave rente ved sikkerhedsstillelse på mindst K* og den høje rente ellers.

En separerende ligevægt, hvor kun type H stiller sikkerhed, kræver to betingelser samtidig. Type H skal foretrække at stille sikkerheden frem for at lade være:

\(6 \geq \frac{K}{2} \;\Rightarrow\; K \leq 12\)

og type L skal foretrække ikke at efterligne type H:

\(6 < \frac{3K}{2} \;\Rightarrow\; K > 4\)

Ethvert sikkerhedskrav mellem 4 og 12 opfylder begge incitamentsbetingelser og understøtter en separerende ligevægt, forudsat at långiverens overbevisning uden for ligevægtsstien, det vil sige ved enhver sikkerhedsstillelse under K*, tilskriver låntageren type L med sikkerhed. Vælges for eksempel K* = 8, stiller type H sikkerheden til en omkostning på 4 mod en gevinst på 6, mens type L skulle betale 12 for samme signal mod en gevinst på kun 6 og undlader derfor at efterligne. Mekanismen illustrerer, hvordan et costly signal kan adskille typer, der ellers ikke kan observeres direkte, forudsat at signalomkostningen er tilstrækkeligt forskellig på tværs af typerne til, at incitamentsbetingelserne opfyldes.

Anvendelse i markedsdesign og finansiel modellering

Spilteoretiske ligevægtsbegreber udgør det formelle fundament for en række modeller, der anvendes direkte i finansielle markeder, uden at disse modellers egne specifikke antagelser og resultater hører hjemme under spilteori som begreb. Markedsmikrostrukturmodeller for informeret handel, som Kyles model, bygger på Bayesiansk ligevægt til at beskrive, hvordan en markedsmager opdaterer priser ud fra observeret ordreflow under mistanke om, at en del af flowet stammer fra aktører med privat information. Auktionsteori, herunder Vickrey-auktionen, og bredere mekanismedesign baseret på afsløringsprincippet anvender ligeledes Bayesiansk Nash-ligevægt som løsningsbegreb til at analysere, hvordan bud- og allokeringsregler kan designes, så deltagerne har incitament til at afsløre deres sande værdisætning. Fælles for disse anvendelser er, at de arver spilteoriens grundlæggende apparat, herunder typerum, overbevisninger og ligevægtsbegreber, men tilføjer produktspecifikke antagelser om informationsstruktur og prisdannelse, som ligger uden for selve spilteoriens definition.