Diskonteringsfaktoren som byggesten

Enhver nutidsværdi kan reduceres til en lineær afbildning af en betalingsvektor gennem en vektor af diskonteringsfaktorer. Diskonteringsfaktoren for tidspunkt $t$ isolerer selve tidsværdien i ét tal:

$$DF(t)=\frac{1}{(1+z_t{)}^t}$$

hvor $z_t$ er nulkuponrenten (spot-renten) for løbetid $t$. Nutidsværdien af en betalingsstrøm er da det indre produkt mellem betalingerne og diskonteringsfaktorerne:

$$PV=\sum _{t}C{F}_t\cdot DF(t)$$

Ved at behandle $DF(t)$ som det atomare objekt frem for at knytte en enkelt rente til hele strømmen bliver værdiansættelse additiv og additivt konsistent: en portefølje af betalingsstrømme har en nutidsværdi lig summen af de enkelte strømmes nutidsværdier, uanset deres tidsprofil.

Rentestrukturen og periodespecifik diskontering

En flad diskonteringsrente er et specialtilfælde. Er rentestrukturen ikke flad, skal hver betaling diskonteres med den nulkuponrente, der gælder for netop dens løbetid. Betragt en betalingsstrøm på 200, 300 og 500 kroner efter henholdsvis ét, to og tre år, med nulkuponrenterne 3,00 procent, 3,50 procent og 4,00 procent. Diskonteringsfaktorerne bliver

$$DF(1)=\frac{1}{\mathrm{1,03}}=\mathrm{0,970874},DF(2)=\frac{1}{(\mathrm{1,035}{)}^2}=\mathrm{0,933511},DF(3)=\frac{1}{(\mathrm{1,04}{)}^3}=\mathrm{0,888996}$$

og nutidsværdien

$$PV=200\cdot \mathrm{0,970874}+300\cdot \mathrm{0,933511}+500\cdot \mathrm{0,888996}=\mathrm{194,17}+\mathrm{280,05}+\mathrm{444,50}=\mathrm{918,73}\text{kr.}$$

Diskonteres den samme strøm i stedet med en enkelt flad rente på 4 procent, fås

$$P{V}_{flad}=200\cdot \mathrm{0,961538}+300\cdot \mathrm{0,924556}+500\cdot \mathrm{0,888996}=\mathrm{914,17}\text{kr.}$$

Forskellen på godt fire kroner opstår, fordi de tidlige betalinger under en opadskrånende kurve diskonteres med lavere renter, end en flad kurve forudsætter. Sensitiviteten af $PV$ over for et skift i diskonteringsrenten fanges af størrelserne duration og konveksitet, der måler nutidsværdiens første- og andenordensrespons på renteændringer.

Konventioner for rente og dagtælling

Den samme underliggende tidsværdi kan udtrykkes i flere renterepræsentationer, der alle giver samme vækstfaktor over en given horisont. En nominel rente på 6 procent tilskrevet halvårligt giver den effektive årlige rente $(1{,}03)^2 – 1 = 0{,}0609$. Den kontinuert forrentede ækvivalent er

$$r_c=\ln (\mathrm{1,0609})=\mathrm{0,059118}$$

altså 5,9118 procent, og de tre repræsentationer producerer identisk étårig vækst, idet $(1{,}03)^2 = e^{0{,}059118} = 1{,}0609$. Ved sammenligning af renter på tværs af instrumenter skal de derfor bringes til fælles konvention, før de er meningsfyldt sammenlignelige.

Den eksponent, der indgår i diskonteringen, afhænger yderligere af dagtællingskonventionen. Den præcise periodebrøk $\tau$ i $(1+r)^{\tau}$ eller $e^{-r\tau}$ beregnes forskelligt under Act/360, Act/365 og 30/360, og valget af konvention flytter nutidsværdien for betalinger, hvis nøjagtige valør ikke falder på hele år.

Kontinuert tid og den stokastiske diskonteringsfaktor

I kontinuert tid udtrykkes diskonteringsfaktoren gennem den øjeblikkelige forwardrente $f(0,s)$:

$$DF(t)=\exp (-{\int }_0^{t}f(0,s)ds)$$

hvoraf nulkuponrenten fremstår som gennemsnittet af forwardrenterne over intervallet, $z(t) = \tfrac{1}{t}\int_0^t f(0,s)\,ds$. Diskonteres et beløb på 1.000 kroner, der modtages om 2,5 år, med en konstant kontinuert rente på 5 procent, bliver nutidsværdien

$$PV=1000\cdot e^{-\mathrm{0,05}\cdot \mathrm{2,5}}=1000\cdot e^{-\mathrm{0,125}}=1000\cdot \mathrm{0,882497}=\mathrm{882,50}\text{kr.}$$

Nominelle og reale størrelser knyttes sammen af Fisher-relationen, $(1+r_{nom}) = (1+r_{real})(1+\pi)$. Med en nominel diskonteringsrente på 6 procent og en inflation på 2,5 procent er den reale rente $1{,}06/1{,}025 – 1 = 3{,}4146$%. At diskontere nominelle betalinger med den nominelle rente giver pr. konstruktion samme nutidsværdi som at deflatere betalingerne til realtermer og diskontere dem med den reale rente; en nominel betaling på 1.000 kroner om tre år har således nutidsværdien $1000/(1{,}06)^3 = 839{,}62$ kr. ad begge veje.

Under usikkerhed generaliseres den deterministiske diskontering til en stokastisk diskonteringsfaktor. Prisen på en fremtidig, tilstandsafhængig betaling $X$ skrives $P_0 = \mathbb{E}[m \cdot X]$, hvor $m$ er prissætningskernen, og den risikofrie diskonteringsfaktor fremkommer som $\mathbb{E}[m]$. Den deterministiske $DF(t)$ er dermed grænsetilfældet, hvor betalingen er sikker, og hvor tidsværdien optræder renset for ethvert risikotillæg.