Identitetens residuale status

Kvantitetsligningen kan ikke falsificeres, fordi V konstrueres som PY/M ud fra to uafhængigt målte størrelser. Ligningen får først indhold, når der pålægges enten en stabilitetsantagelse om velociteten eller en eksplicit pengeefterspørgselsfunktion. Uden en af delene reduceres enhver udtalelse om, at velociteten har drevet nominelt BNP, til et regnskabsudsagn om, at nominelt BNP voksede hurtigere end pengemængden.

Velocitet som invers pengeefterspørgsel

Specificeres realbeholdningen af penge som en funktion af indkomst og den nominelle rente, hvor k er en skalaparameter, η indkomstelasticiteten og ε den numeriske renteelasticitet, gælder:

\(\frac{M^{d}}{P} = k , Y^{\eta} , i^{- \varepsilon}\)

Under ligevægt mellem udbud og efterspørgsel efter penge følger velociteten som den inverse af pengeefterspørgslen:

\(V = \frac{P Y}{M} = \frac{1}{k} , Y^{1 – \eta} , i^{\varepsilon}\)

\(\ln V = – \ln k + (1 – \eta) \ln Y + \varepsilon \ln i\)

Renteelasticiteten af velociteten er dermed ε, og indkomstelasticiteten er 1 − η. En pengeefterspørgsel med enhedselastisk indkomstrespons implicerer en velocitet, der er uafhængig af den reale indkomst, mens stordriftsfordele i kassestyring, altså η under 1, indebærer en velocitet, der stiger trendmæssigt med velstandsniveauet.

Med en renteelasticitet på 0,25 og en fordobling af den nominelle rente fra 2 % til 4 % fås:

\(\frac{V_{1}}{V_{0}} = \left( \frac{0{,}04}{0{,}02} \right)^{0{,}25} = 2^{0{,}25} = 1{,}1892\)

Med en udgangsvelocitet på 1,60 og en fastholdt pengemængde på 2.400 mia. kr:

\(V_{1} = 1{,}60 \times 1{,}1892 = 1{,}9027\)

\(P_{1} Y_{1} = 2,400 \times 1{,}9027 = 4,566{,}5\)

De nominelle udgifter stiger dermed med 18,9 % alene gennem velocitetskanalen, uden at der er tilført likviditet.

Kvadratrodsstrukturen i transaktionsbaseret velocitet

Optimeres kassebeholdningen mod faste omkostninger ved at konvertere rentebærende aktiver til likviditet, som i Baumol-Tobin-rammen, hvor b er omkostningen per konvertering og T det årlige betalingsvolumen, minimeres summen af konverteringsomkostninger og forrentningstab:

\(C^{*} = \sqrt{\frac{2 b T}{i}}\)

\(\bar{M} = \frac{C^{*}}{2} = \sqrt{\frac{b T}{2 i}}\)

Velociteten målt mod betalingsvolumenet følger direkte:

\(V = \frac{T}{\bar{M}} = \sqrt{\frac{2 i T}{b}}\)

Med T = 600.000 kr, b = 30 kr og i = 0,03:

\(V = \sqrt{\frac{2 \times 0{,}03 \times 600,000}{30}} = \sqrt{1,200} = 34{,}64\)

En fordobling af renten til 6 % løfter velociteten til 48,99, svarende til faktoren kvadratroden af 2. Strukturen implicerer en renteelasticitet af velociteten på præcis 0,5 og en volumenelasticitet på ligeledes 0,5, altså η lig 0,5. Kalibreringsvalget er ikke neutralt: den rentefølsomhed, der lægges til grund, bestemmer, hvor stor en del af en observeret nominel acceleration der tilskrives likviditet frem for omløbshastighed.

Måleafhængighed og likviditetsvægtning

Simpel summering af pengemængdekomponenter tildeler implicit vægten 1 til alle indskudsformer, uanset at deres anvendelighed som betalingsmiddel er forskellig. Betragt et nominelt BNP på 6.000 mia. kr, transaktionsindskud på 1.000 mia. kr og tidsindskud på 1.500 mia. kr. Det simple aggregat giver 6.000/2.500 = 2,40.

Flyttes 300 mia. kr fra tidsindskud til transaktionsindskud, er summen uændret, og den målte velocitet forbliver 2,40. Vægtes komponenterne efter likviditetstjenester med henholdsvis 1,0 og 0,4, som i Divisia-baserede aggregater, fås derimod:

\(V_{\text{før}} = \frac{6,000}{1,000 + 0{,}4 \times 1,500} = \frac{6,000}{1,600} = 3{,}750\)

\(V_{\text{efter}} = \frac{6,000}{1,300 + 0{,}4 \times 1,200} = \frac{6,000}{1,780} = 3{,}371\)

Den likviditetsvægtede velocitet falder med 10,1 %, mens den simpelt målte er konstant. Skift i sammensætningen af aggregatet fremstår derfor som velocitetsstabilitet i det ene mål og som et strukturelt brud i det andet.

Basisvelocitet under overskudsreserver

Velociteten af pengebasen adskiller sig kvalitativt fra velociteten af den brede pengemængde, fordi centralbankreserver kun kan cirkulere mellem institutter med konto i centralbanken og aldrig anvendes til betaling i realøkonomien. Tredobles pengebasen fra 300 til 900 mia. kr ved et nominelt BNP på 6.000 mia. kr, falder basisvelociteten fra 20,0 til 6,67. Vokser det brede aggregat samtidig fra 2.400 til 2.500 mia. kr, ændres den brede velocitet kun fra 2,50 til 2,40.

Forrentning af reserver forstærker mekanismen, fordi den fjerner det tab, institutterne ellers ville lide ved at holde uudnyttet likviditet, og dermed eliminerer det pres, der ellers ville skubbe reserverne videre ud i udlån. Et kollaps i basisvelociteten er under disse betingelser et regnskabsmæssigt spejlbillede af balanceudvidelsen og indeholder ingen selvstændig information om efterspørgslen efter penge til transaktionsformål.

Velocitet under høj inflation og inflationsskattens grænse

Forventet inflation indgår i den nominelle rente og dermed i alternativomkostningen ved at holde penge, hvilket giver en semilogaritmisk sammenhæng, som i Cagans specifikation af pengeefterspørgslen:

\(\ln V = \alpha + \beta \pi^{e}\)

Med β = 3 og en stigning i den forventede inflation fra 2 % til 20 % fås:

\(\frac{V_{1}}{V_{0}} = e^{3 \times 0{,}18} = e^{0{,}54} = 1{,}716\)

Velociteten stiger med 71,6 %, hvorved inflationen overstiger pengemængdevæksten, og flugten fra kontantbeholdninger bliver selvforstærkende. Da realbeholdningen af penge er Y/V, er velociteten samtidig den inverse af inflationsskattens grundlag. Provenuet ved en inflation på π er:

\(s(\pi) = \pi \times \frac{Y}{V_{0}} e^{- \beta \pi}\)

\(\frac{ds}{d\pi} = \frac{Y}{V_{0}} e^{- \beta \pi} (1 – \beta \pi) = 0 \quad \Rightarrow \quad \pi^{*} = \frac{1}{\beta}\)

Med β = 3, en real indkomst på 1.000 og en udgangsvelocitet på 2 maksimeres provenuet ved en inflation på 33,3 %:

\(s(\pi^{*}) = \frac{1,000 \times 0{,}3333}{2} \times e^{-1} = 166{,}67 \times 0{,}3679 = 61{,}3\)

Ud over dette punkt vokser velociteten hurtigere end skattesatsen, og yderligere seignorage-udvinding reducerer provenuet.

Konsistenstjek i nominelle fremskrivninger

Under en fastlagt pengemængdebane overføres al varians i velociteten direkte til de nominelle udgifter, da ln P + ln Y = ln M + ln V. En standardafvigelse på 2,5 % i velocitetsvæksten indebærer isoleret set et interval på cirka plus/minus 5 procentpoint for den nominelle vækst ved to standardafvigelser, hvilket er kernen i indvendingen mod pengemængdemålsætning som operationelt instrument.

Identiteten anvendes derfor i praksis som konsistenstjek. En fremskrivning med 2 % real vækst, 3 % deflatorstigning og 7 % pengemængdevækst implicerer:

\(\hat{V} = \frac{1{,}05}{1{,}07} – 1 = – 0{,}0187\)

En strukturel kontrol mod pengeefterspørgselsfunktionen med en renteelasticitet på 0,25, en indkomstelasticitet på 0,5 og en politikrente, der hæves fra 3,0 % til 3,5 %, giver derimod:

\(\frac{V_{1}}{V_{0}} = \left( \frac{3{,}5}{3{,}0} \right)^{0{,}25} \times (1{,}02)^{0{,}5} = 1{,}0393 \times 1{,}0099 = 1{,}0496\)

Den strukturelle velocitetsstigning på 4,96 % er uforenelig med det implicitte fald på 1,87 %. Den pengemængdevækst, der er konsistent med begge dele, er 1,05/1,0496 − 1, altså tilnærmelsesvis nul. Anvendes i stedet kvadratrodsmodellens renteelasticitet på 0,5, bliver den implicerede velocitetsstigning 9,08 % og den konsistente pengemængdevækst −3,74 %. Spændet mellem de to kalibreringer definerer usikkerhedsbåndet omkring den likviditetsbane, en given nominel fremskrivning forudsætter.