Estimation baseret på intradagsdata

Den klassiske close-to-close-metode anvender udelukkende én observation per periode, nemlig lukkekursen, og kasserer dermed al information om, hvordan prisen bevægede sig inden for selve handelsdagen. Parkinson-estimatoren udnytter i stedet dagens højeste og laveste kurs og er baseret på antagelsen om en driftfri geometrisk Brownsk bevægelse:

$${\sigma }_{\text{Parkinson}}^2=\frac{1}{4n\ln 2}\sum _{i=1}^n{(\ln \frac{H_i}{L_i})}^2$$

hvor $H_i$ og $L_i$er dagens højeste og laveste kurs. Antag tre konstruerede handelsdage med følgende høj/lav-niveauer: dag et 101,20 og 99,00, dag to 102,50 og 98,70, samt dag tre 100,80 og 99,50. De logaritmiske forhold bliver henholdsvis 0,0220, 0,0378 og 0,0130, og de kvadrerede værdier summerer til 0,002082. Med $4n\ln 2 = 4 \times 3 \times 0{,}6931 \approx 8{,}317$ fås

$${\sigma }_{\text{Parkinson}}^2=\frac{\mathrm{0,002082}}{\mathrm{8,317}}\approx \mathrm{0,000250}$$

svarende til en daglig volatilitet på cirka 1,58 procent og en annualiseret volatilitet på cirka 25,1 procent. Fordi estimatoren udnytter information fra hele dagens handelsinterval frem for kun ét enkelt punkt, er den statistisk mere effektiv end close-to-close-metoden for samme antal observationer, om end den forudsætter, at der ikke forekommer prisspring mellem lukning og næste åbning. Garman-Klass-estimatoren udvider Parkinson-tilgangen ved også at inddrage åbnings- og lukkekurs:

$${\sigma }_{GK}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n[\frac{1}{2}{(\ln \frac{H_i}{L_i})}^2-(2\ln 2-1){(\ln \frac{C_i}{O_i})}^2]$$

hvilket øger den statistiske effektivitet yderligere, men samtidig kan give et negativt varians-estimat, når der forekommer store spring mellem forrige lukkekurs og dagens åbningskurs. Rogers-Satchell-estimatoren adresserer en anden svaghed ved både Parkinson- og Garman-Klass-tilgangen, nemlig antagelsen om nul-drift i prisen inden for perioden, og forbliver konsistent selv når aktivet har en systematisk trend i estimationsvinduet.

Eksponentiel vægtning og betinget volatilitet

Fremfor at tillægge alle historiske observationer lige stor vægt, som i den simple standardafvigelse, kan volatilitet estimeres med et eksponentielt vægtet glidende gennemsnit (EWMA), hvor nyere observationer tillægges større vægt end ældre:

$${\sigma }_t^2=\lambda {\sigma }_{t-1}^2+(1-\lambda )r_t^2$$

Med en typisk daglig henfaldsfaktor på $\lambda = 0{,}94$, et forudgående varians-estimat på $\sigma_{t-1}^2 = 0{,}0002075$ og et nyt observeret afkast på $r_t = -1{,}80\%$ fås

$${\sigma }_t^2=\mathrm{0,94}\times \mathrm{0,0002075}+\mathrm{0,06}\times {\mathrm{0,0180}}^2=\mathrm{0,000195}+\mathrm{0,0000194}\approx \mathrm{0,0002145}$$

svarende til en opdateret daglig volatilitet på cirka 1,46 procent og annualiseret cirka 23,3 procent. Denne fremgangsmåde reagerer hurtigere på nye chok end et simpelt historisk gennemsnit, men mangler et ankerpunkt til en langsigtet normalvolatilitet, hvilket adresseres af GARCH-modellen. I GARCH(1,1)-formuleringen bestemmes den betingede varians som

$${\sigma }_t^2=\omega +\alpha {\epsilon }_{t-1}^2+\beta {\sigma }_{t-1}^2$$

hvor $\varepsilon_{t-1}$ er det foregående periodes uventede afkastkomponent. Så længe $\alpha + \beta < 1$, er processen stationær og trækker mod en langsigtet varians givet ved

$${\sigma }_{LR}^2=\frac{\omega }{1-\alpha -\beta }$$

Med $\omega = 0{,}000002$, $\alpha = 0{,}08$ og $\beta = 0{,}90$ er $\alpha+\beta = 0{,}98$, og den langsigtede daglige varians bliver $0{,}000002/0{,}02 = 0{,}0001$, svarende til en langsigtet daglig volatilitet på 1,0 procent og annualiseret cirka 15,9 procent. Med samme chok som i EWMA-eksemplet, $\varepsilon_t=-1{,}80\%$, og samme udgangsvarians $\sigma_t^2=0{,}0002075$, giver ét-periodes-prognosen

$${\sigma }_{t+1}^2=\mathrm{0,000002}+\mathrm{0,08}\times \mathrm{0,000324}+\mathrm{0,90}\times \mathrm{0,0002075}\approx \mathrm{0,0002147}$$

svarende til cirka 1,465 procent dagligt og 23,3 procent annualiseret – tæt på EWMA-estimatet, men med en indbygget tendens til over tid at trække tilbage mod den langsigtede varians. For en prognosehorisont $h$ perioder frem gælder

$$E_t\text{\hspace{0.17em}⁣}\left[{\sigma }_{t+h}^2\right]={\sigma }_{LR}^2+(\alpha +\beta {)}^{h-1}({\sigma }_{t+1}^2-{\sigma }_{LR}^2)$$

Med samme tal ses det, at $(0{,}98)^9 \approx 0{,}834$, hvilket giver en tiperiodersprognose på $\sigma_{t+10}^2 \approx 0{,}0001 + 0{,}834\times 0{,}0001147 \approx 0{,}0001957$, svarende til cirka 1,40 procent dagligt og 22,2 procent annualiseret. Prognosen bevæger sig altså gradvist fra det aktuelt forhøjede niveau ned mod det langsigtede gennemsnit i takt med, at horisonten forlænges, hvilket illustrerer volatilitetens middelreversion. Denne mekanik afspejler samtidig det fænomen, der kaldes volatilitetsklynger: store prisbevægelser, uanset fortegn, har en tendens til at blive efterfulgt af yderligere store bevægelser, mens rolige perioder har en tendens til at forblive rolige, hvilket netop er årsagen til, at den betingede varians i GARCH-strukturen er autoregressiv i de kvadrerede chok.

Terminsstruktur, skew og risikopræmie

Implicit volatilitet varierer systematisk på tværs af både udnyttelseskurs og løbetid. På tværs af løbetider danner implicit volatilitet en terminsstruktur, der under rolige markedsforhold typisk hælder opad, fordi usikkerheden om prisniveauet naturligt akkumuleres over en længere periode, mens strukturen under akut markedsuro kan vende og hælde nedad, fordi den kortsigtede volatilitet spidser til, mens markedet fortsat forventer, at volatiliteten på længere sigt vil vende tilbage mod et mere normalt niveau. På tværs af udnyttelseskurser observeres typisk en skew, hvor optioner med lav udnyttelseskurs handler til en højere implicit volatilitet end optioner med høj udnyttelseskurs på samme underliggende aktiv. En medvirkende strukturel forklaring er den såkaldte gearingseffekt: når prisen på det underliggende aktiv falder, mens virksomhedens gæld forbliver nogenlunde konstant, stiger den finansielle gearing mekanisk, hvilket øger følsomheden – og dermed volatiliteten – af egenkapitalens afkast yderligere. Denne mekanisme skaber en negativ samvariation mellem prisniveau og volatilitet og bidrager til, at nedadrettet beskyttelse prisfastsættes med relativt højere implicit volatilitet end tilsvarende opadrettet eksponering. Implicit volatilitet har desuden en strukturel tendens til at ligge over den volatilitet, der efterfølgende realiseres, hvilket udgør en volatilitetsrisikopræmie: fordi volatilitet har en tendens til at stige netop i de markedstilstande, hvor andre aktiver falder i værdi, er instrumenter, der stiger i værdi, når volatiliteten stiger, attraktive som afdækning, og sælgere af denne beskyttelse kræver kompensation i form af en implicit volatilitet, der ligger over den forventede efterfølgende realiserede volatilitet. Det mest kendte markedsbaserede mål for implicit volatilitet er VIX-indekset, der ikke beregnes ved at invertere en enkelt options pris, men ved en modelfri metode, som aggregerer priserne på en bred vifte af optioner med forskellige udnyttelseskurser til ét samlet volatilitetsestimat for en fast horisont. Volatiliteten kan selv have en svingende volatilitet, ofte betegnet vol-of-vol, hvilket blandt andet afspejles i indeks som VVIX, der måler usikkerheden om VIX’ egen fremtidige udvikling. Mere avancerede prisfastsættelsesmodeller for optioner, som Heston-modellen, behandler volatilitet som en selvstændig stokastisk proces med sin egen middelreversion og volatilitet, mens jump-diffusionsmodeller som Mertons model tillader diskontinuerte spring i det underliggende aktiv, hvilket typisk viser sig som en stejlere kortsigtet skew i den implicitte volatilitetsflade.