Ligevægtsbetingelsen bag værdipapirmarkedslinjen

Værdipapirmarkedslinjen er ikke et postulat, men følger af en marginalbetragtning omkring markedsporteføljen. Betragtes en portefølje bestående af vægten w i aktiv i og vægten 1 – w i markedsporteføljen, gælder:

\(E(r_p) = w E(r_i) + (1 – w) E(r_M)\)

\(\sigma_p = \left[ w^2 \sigma_i^2 + (1 – w)^2 \sigma_M^2 + 2 w (1 – w) \sigma_{iM} \right]^{1/2}\)

Da markedsporteføljen i ligevægt allerede indeholder aktiv i i dets ligevægtsvægt, repræsenterer w = 0 den faktiske beholdning, og de partielle afledte evalueres i dette punkt:

\(\left. \frac{\partial E(r_p)}{\partial w} \right|_{w = 0} = E(r_i) – E(r_M)\)

\(\left. \frac{\partial \sigma_p}{\partial w} \right|{w = 0} = \frac{\sigma{iM} – \sigma_M^2}{\sigma_M}\)

Det marginale bytteforhold mellem afkast og risiko må i ligevægt svare til hældningen på kapitalmarkedslinjen i tangeringspunktet, da enhver afvigelse ellers ville muliggøre en forbedring af markedsporteføljens egen Sharpe-ratio:

\(\frac{E(r_i) – E(r_M)}{\left( \sigma_{iM} – \sigma_M^2 \right) / \sigma_M} = \frac{E(r_M) – r_f}{\sigma_M}\)

Omskrivning giver E(ri) – E(rM) = [E(rM) – rf](βi – 1), som reducerer til den velkendte form. Udledningen klargør, hvorfor beta og ikke varians er det prissatte risikomål: aktivets bidrag til markedsporteføljens samlede risiko afhænger udelukkende af dets kovarians med porteføljen, mens den egne varians indgår med vægten w i anden potens og derfor forsvinder i grænsen.

Prisen på kovariansrisiko

Ligevægten kan udtrykkes som en betingelse om, at forholdet mellem merafkast og marginalt risikobidrag er ens på tværs af samtlige aktiver:

\(\frac{E(r_i) – r_f}{\sigma_{iM}} = \frac{E(r_M) – r_f}{\sigma_M^2} \equiv \lambda\)

Størrelsen λ er markedets pris på kovariansrisiko og er en fælles konstant, ikke en aktivspecifik parameter. Med en markedsstandardafvigelse på 20 procent og en risikopræmie på 5 procentpoint bliver:

\(\lambda = \frac{0.05}{0.04} = 1.25\)

Et aktiv med en kovarians på 0,048 får dermed et merafkast på 1,25 gange 0,048, altså 6 procentpoint, hvilket er identisk med beta på 1,20 gange risikopræmien. Formuleringen er den operationelt mest anvendelige i porteføljesammenhæng, fordi den direkte identificerer, hvornår en position bidrager med risiko, der ikke honoreres.

Sikkerhedsækvivalent formulering

Den sædvanlige form justerer for risiko i nævneren via diskonteringsrenten, hvilket skaber en cirkularitet, når beta beregnes på afkast, der selv afhænger af den ukendte pris. En algebraisk ækvivalent form flytter i stedet justeringen op i tælleren. Med ri defineret som CF1 divideret med P0 minus 1 gælder Cov(ri, rM) = Cov(CF1, rM) divideret med P0, og indsættelse i prisligningen giver:

\(P_0 = \frac{E(CF_1) – \lambda , \mathrm{Cov}(CF_1, r_M)}{1 + r_f}\)

Med en forventet pengestrøm på 114, en kovarians mellem pengestrøm og markedsafkast på 8, λ på 1,25 og en risikofri rente på 4 procent:

\(P_0 = \frac{114 – 1.25 \times 8}{1.04} = \frac{104}{1.04} = 100\)

Kontrollen mod den sædvanlige form er eksakt: beta bliver 8 divideret med produktet af 100 og 0,04, altså 2,0, afkastkravet bliver 14 procent, og 114 divideret med 1,14 giver 100. Formuleringen er nødvendig, når pengestrømmene har asymmetrisk eller negativ kovarians med markedet, hvor en risikojusteret diskonteringssats enten bliver meningsløs eller ligger under den risikofri rente.

Versionen uden risikofrit aktiv

Ophæves antagelsen om ubegrænset låntagning til den risikofri rente, erstattes rf af det forventede afkast på en nulbeta-portefølje, defineret som den portefølje på minimumvariansranden, hvis kovarians med markedsporteføljen er nul:

\(E(r_i) = E(r_Z) + \beta_i \left[ E(r_M) – E(r_Z) \right]\)

Konstruktionen bevarer linearitet i beta, men medfører en højere skæring og en fladere hældning end den strenge version, fordi investorer med lånebegrænsninger opnår ønsket eksponering ved at overvægte aktiver med høj beta frem for at geare en effektiv portefølje. Dermed bydes højbeta-aktiver op i pris og ned i forventet afkast, hvilket er den strukturelle forklaring, modellen selv leverer på en fladere realiseret sammenhæng end den teoretiske hældning tilsiger.

Estimation af beta

Empirisk estimeres beta som hældningen i en tidsserieregression af merafkast:

\(r_{i,t} – r_{f,t} = \alpha_i + \beta_i \left( r_{M,t} – r_{f,t} \right) + \varepsilon_{i,t}\)

Skæringsleddet er Jensens alfa, og nulhypotesen under CAPM er, at det er nul for samtlige aktiver. Estimationen indebærer en afvejning: et langt vindue reducerer standardfejlen, men øger risikoen for, at selskabets forretningsrisiko eller kapitalstruktur har ændret sig undervejs. Høj datafrekvens øger antallet af observationer, men forstærker samtidig effekten af manglende synkronisering i handlen, der systematisk trækker estimatet mod nul for illikvide papirer; korrektioner ved at inddrage forsinkede markedsafkast og summere koefficienterne, kendt som sum-beta i traditionen efter Dimson og Scholes-Williams, adresserer denne skævhed.

Estimationsusikkerheden er sjældent triviel. Et punktestimat på 1,45 med en standardfejl på 0,25 giver et omtrentligt 95-procents konfidensinterval fra 0,96 til 1,94, hvilket med en risikopræmie på 5 procentpoint og en risikofri rente på 4 procent svarer til et afkastkrav mellem 8,8 og 13,7 procent. Fordi historiske beta har tendens til at bevæge sig mod gennemsnittet over tid, anvendes shrinkage rutinemæssigt. En gængs justering vægter det estimerede beta med omtrent to tredjedele og markedets beta på 1 med en tredjedel:

\(\beta^{just} = \frac{2}{3} \times 1.45 + \frac{1}{3} \times 1.00 = 1.30\)

Justeringen sænker afkastkravet fra 11,25 til 10,50 procent. Vasiceks metode generaliserer princippet ved at lade vægtene afhænge af det enkelte estimats præcision relativt til spredningen i den anvendte prior, således at støjfyldte estimater trækkes kraftigere mod gennemsnittet end præcise.

Justering for kapitalstruktur

Beta observeret på egenkapitalen afspejler både forretningsrisiko og finansiel gearing, og sammenligning på tværs af selskaber kræver derfor, at gearingseffekten isoleres. Hamadas relation angiver sammenhængen under antagelse af risikofri gæld og et skatteskjold, der diskonteres med gældsrenten:

\(\beta_L = \beta_U \left[ 1 + (1 – t) \frac{D}{E} \right]\)

Et observeret egenkapitalbeta på 1,44 ved et gæld-til-egenkapitalforhold på 0,8 og en skattesats på 25 procent giver:

\(\beta_U = \frac{1.44}{1 + 0.75 \times 0.8} = \frac{1.44}{1.6} = 0.90\)

Regearing til en målkapitalstruktur med et forhold på 0,4 giver et beta på 1,17 og dermed et afkastkrav på 9,85 procent mod 11,20 procent ved den oprindelige gearing. Antagelsen om nulbeta på gælden er den svageste led og bliver uholdbar for kreditsvage udstedere, hvor en positiv gældsbeta bør indgå eksplicit, da beta ellers undervurderes for aktivsiden.

Testbarhed og Rolls kritik

Empirisk afprøvning følger typisk en topasmetode, hvor beta først estimeres i tidsserien og derefter indgår som forklarende variabel i en tværsnitsregression af gennemsnitlige afkast, i Fama-MacBeth-traditionen med rullende periodevise regressioner og efterfølgende inferens på tidsseriegennemsnittet af koefficienterne. Konstruktionen lider under målefejl i den forklarende variabel, hvilket trækker den estimerede hældning mod nul og skæringen tilsvarende op; gruppering af aktiver i porteføljer efter forudgående beta dæmper problemet, fordi porteføljebeta estimeres langt mere præcist end enkeltaktivers.

Den principielle indvending er, at markedsporteføljen omfatter samtlige formuegoder, herunder ikke-noterede aktiver og humankapital, og derfor ikke er observerbar. Enhver test anvender en proxy, og resultatet bliver dermed en sammensat hypotese om både modellen og proxyens middelværdi-varians-effektivitet. Roll påpegede, at sammenhængen mellem beta og gennemsnitsafkast holder eksakt og pr. konstruktion, hvis den anvendte proxy er efterfølgende effektiv, hvorved en bekræftelse ikke udgør evidens for modellen, ligesom en afvisning kan skyldes proxyen alene. Simultan afprøvning af, om alfa er nul på tværs af flere aktiver, håndteres med den multivariate GRS-test, der tager højde for korrelation mellem residualerne. De dokumenterede tværsnitsmønstre knyttet til størrelse, værdi, momentum og lav beta udgør den empiriske anfægtelse af, at én faktor er tilstrækkelig, og har motiveret flerfaktormodeller.

Modellens grænser og udvidelser

Enperiodeantagelsen udelukker, at investorerne afdækker skift i investeringsmulighederne over tid; Mertons intertemporale version tilføjer derfor faktorer knyttet til tilstandsvariable som renteniveau og volatilitet, mens den forbrugsbaserede version erstatter markedsporteføljen med aggregeret forbrug som den relevante kovariansreference. Antagelsen om homogene forventninger og friktionsfrihed er ligeledes udvidet i retninger, der prissætter skatteforskelle og likviditet.

Inputsiden er i praksis mindst lige så kritisk som specifikationen. Risikopræmien kan udledes fremadrettet ved at inverte en dividendediskonteringsmodel, således at det implicitte markedsafkast fremkommer som forventet udbytteafkast plus forventet vækstrate, hvorefter den risikofri rente fratrækkes. Metoden er selvkonsistent med de pengestrømme, der efterfølgende diskonteres, men arver samtidig følsomheden over for vækstantagelsen. Modellens vedvarende anvendelse hviler ikke på, at den beskriver afkast præcist, men på at den etablerer en disciplineret nulhypotese: enhver påstået merafkastkilde må enten kunne henføres til kovarians med markedet eller begrundes som kompensation for en risikofaktor, der er systematisk og ikke kan bortdiversificeres.