Konsistens mellem pengestrøm, diskonteringsrente og kapitalstruktur

Nutidsværdien er kun veldefineret, når tæller og nævner tilhører samme fordringshaverkreds, samme valuta og samme prisniveau. Frit cash flow til virksomheden, altså pengestrømmen til både fremmed- og egenkapital før finansielle poster og efter skat af driften, skal diskonteres med de vejede kapitalomkostninger WACC og giver virksomhedsværdien. Frit cash flow til egenkapitalen, som er efter renter efter skat og efter nettolåneoptagelse, skal diskonteres med egenkapitalens afkastkrav og giver egenkapitalværdien direkte. En nominel pengestrøm kræver et nominelt afkastkrav, og et pengestrømsforløb i én valuta kræver et afkastkrav opgjort i samme valuta.

Et selskab genererer en konstant frit cash flow til virksomheden på 100 i al fremtid uden vækst. WACC er 8 %, nettorentebærende gæld udgør 400, den nominelle lånerente er 5 %, og selskabsskatten er 25 %.

\(EV = \frac{100}{0,08} = 1.250 \qquad E = 1.250 – 400 = 850\)

Pengestrømmen til egenkapitalen fremkommer ved at fradrage renter efter skat, mens nettolåneoptagelsen er nul, fordi gælden holdes konstant:

\(FCFE = 100 – 400 \times 0,05 \times (1 – 0,25) = 100 – 15 = 85\)

Egenkapitalens afkastkrav er ikke et frit valg, men er implicit bestemt af WACC og den markedsværdibaserede kapitalstruktur:

\(0,08 = k_e \times \frac{850}{1.250} + 0,05 \times (1 – 0,25) \times \frac{400}{1.250} \quad \Rightarrow \quad k_e = \frac{0,08 – 0,012}{0,68} = 0,10\)

\(E = \frac{85}{0,10} = 850\)

De to fremgangsmåder giver identisk resultat, hvilket de altid skal, når kapitalstrukturvægtene er baseret på markedsværdier og ikke på bogførte værdier. Uoverensstemmelser mellem de to metoder er i praksis en diagnostisk indikator: de skyldes næsten altid enten bogførte vægte, en gældsandel der ikke er konsistent med den, værdiansættelsen selv producerer, eller dobbelttælling af skatteskjoldet i både pengestrøm og diskonteringsrente. Placeres pengestrømmene desuden jævnt hen over året frem for ved årets udgang, korrigeres der med en midtårskonvention, som hæver værdien med omtrent halvdelen af afkastkravet.

Vækst, afkast på investeret kapital og værdiskabelse

Vækst er ikke en fri parameter. Den følger af, hvor stor en del af driftsoverskuddet efter skat der geninvesteres, og af det afkast, geninvesteringen forrentes med. Med NOPAT som driftsoverskud efter skat, ROIC som afkastet på investeret kapital og b som reinvesteringsraten gælder g = ROIC × b, hvilket giver den værdidrevne formulering:

\(V_0 = \frac{NOPAT_1 \times \left(1 – \dfrac{g}{ROIC}\right)}{WACC – g}\)

Formuleringen isolerer det centrale forhold: vækst skaber kun værdi, når det marginale afkast overstiger kapitalomkostningen. Med NOPAT på 100 i næste periode og en WACC på 8 % illustrerer tre tilfælde ved samme vækst på 4 % pointen. Ved ROIC på 16 % er reinvesteringsraten 25 %:

\(V_0 = \frac{100 \times (1 – 0,25)}{0,08 – 0,04} = \frac{75}{0,04} = 1.875\)

Ved ROIC lig WACC på 8 % kræver den samme vækst en reinvesteringsrate på 50 %:

\(V_0 = \frac{100 \times (1 – 0,50)}{0,04} = \frac{50}{0,04} = 1.250\)

Ved ROIC på 5 % kræver væksten en reinvesteringsrate på 80 %, og værdien falder til under nulvækstværdien:

\(V_0 = \frac{100 \times (1 – 0,80)}{0,04} = \frac{20}{0,04} = 500\)

Sammenhængen er algebraisk eksakt. Indsættes ROIC = WACC i udtrykket, forkortes vækstleddet fuldstændig bort:

\(V_0 = \frac{NOPAT_1 \times \dfrac{WACC – g}{WACC}}{WACC – g} = \frac{NOPAT_1}{WACC}\)

Værdien af vækst ved kapitalomkostningen er identisk nul, uanset vækstratens størrelse. Differencen mellem den fulde værdi og nulvækstværdien, her 1.875 − 1.250 = 625, er nutidsværdien af vækstmulighederne, som ofte benævnes PVGO. Identiteten disciplinerer terminalleddet: da vedvarende merafkast forudsætter en varig konkurrencefordel, konvergerer ROIC typisk mod WACC over den periode, fordelen kan opretholdes. Er NOPAT i det første år efter budgetperioden 120, og antages ROIC lig WACC på 8 % i terminalfasen, er terminalværdien uafhængig af den valgte vækstrate — med 3 % vækst er reinvesteringsraten 37,5 %:

\(TV = \frac{120 \times (1 – 0,375)}{0,08 – 0,03} = \frac{75}{0,05} = 1.500 = \frac{120}{0,08}\)

En terminalværdi, der stiger, når vækstraten hæves, uden at reinvesteringen justeres tilsvarende, indebærer implicit et evigt merafkast og er en af de hyppigste kilder til overvurdering af indre værdi.

Indre værdi som bogført egenkapital plus residualindkomst

Nutidsværdien af pengestrømme kan omskrives til en regnskabsbaseret form, hvor den bogførte egenkapital er ankeret, og hvor kun merindtjeningen ud over kapitalomkostningen bidrager med værdi. Residualindkomst defineres som periodens resultat fratrukket en kapitalomkostning på den primobogførte egenkapital:

\(V_0 = B_0 + \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{(ROE_t – k_e) \times B_{t – 1}}{(1 + k_e)^t}\)

Identiteten forudsætter clean surplus, altså at al ændring i egenkapitalen ud over transaktioner med ejerne løber gennem totalindkomsten, således at B_t = B_(t−1) + E_t − D_t. Med en primoegenkapital på 1.000, et konstant egenkapitalforrentning på 15 %, et afkastkrav på 10 % og en udlodningsandel på to tredjedele bliver resultatet 150, udbyttet 100 og den tilbageholdte indtjening 50, hvilket giver en vækst i egenkapital, indtjening og udbytte på 5 %. Residualindkomsten i første periode er:

\(RI_1 = (0,15 – 0,10) \times 1.000 = 50\)

Da residualindkomsten vokser med samme rate som egenkapitalen, kapitaliseres den som en voksende annuitet:

\(V_0 = 1.000 + \frac{50}{0,10 – 0,05} = 1.000 + 1.000 = 2.000\)

Kontrollen mod den pengestrømsbaserede opgørelse giver samme resultat:

\(V_0 = \frac{100}{0,10 – 0,05} = 2.000\)

Kurs/indre værdi på 2 er dermed ikke en præmie, der skal forklares ved markedsstemning, men den kapitaliserede værdi af et merafkast på fem procentpoint. Omskrivningen har en betydelig praktisk fordel: en langt større andel af den samlede værdi ligger i det observerbare ankerled B_0 og en langt mindre andel i terminalleddet, hvilket flytter estimationsusikkerheden fra det ubestemte til det reviderede. Til gengæld er formuleringen følsom over for brud på clean surplus og over for regnskabsmæssige valg, der forskyder egenkapitalen, herunder goodwill fra virksomhedssammenslutninger og aktiveringspraksis for udviklingsomkostninger.

Markedsimplicitte forventninger

Værdiansættelsen kan vendes om, så markedsprisen tages for givet, og den forventning, der er nødvendig for at retfærdiggøre prisen, isoleres. Handles selskabet med ROIC på 16 % ovenfor til en virksomhedsværdi på 1.500 mod en beregnet indre værdi på 1.875, kan differencen udtrykkes som et implicit marginalt kapitalafkast ved fastholdt vækst og WACC:

\(1.500 = \frac{100 \times \left(1 – \dfrac{0,04}{ROIC}\right)}{0,08 – 0,04} \quad \Rightarrow \quad 1 – \frac{0,04}{ROIC} = 0,60 \quad \Rightarrow \quad ROIC = 0,10\)

Alternativt kan differencen udtrykkes som et implicit afkastkrav ved fastholdt kapitalafkast og vækst:

\(1.500 = \frac{75}{r – 0,04} \quad \Rightarrow \quad r = 0,09\)

Prisen indebærer altså enten, at det marginale kapitalafkast er 10 % og ikke 16 %, eller at markedet kræver ét procentpoint mere i afkast. Fremgangsmåden erstatter en usikker punktestimering af værdien med en falsificerbar påstand om en enkelt driver, som kan holdes op mod historiske marginer, konkurrenceintensitet og kapitalintensitet. Den kvantificerer samtidig, hvilken af de konkurrerende fortolkninger af en lav pris der er den bindende, og gør uenigheden med markedet eksplicit og testbar frem for kategorisk.

Indre værdi i optionssammenhæng og dekomponeringens grænser

Den indre værdi af en option er modeluafhængig og stiuafhængig. Den er en funktion udelukkende af den aktuelle kurs på det underliggende aktiv og af aftalekursen, og den kan opgøres uden antagelser om volatilitet, drift eller sandsynlighedsfordeling. Hele modelafhængigheden ligger i tidsværdien, som er præmien minus den indre værdi. Ved udløb er tidsværdien pr. definition nul, og optionens værdi falder sammen med den indre værdi.

Dekomponeringen indebærer imidlertid ikke, at tidsværdien er ikke-negativ. For en amerikansk option, der kan udnyttes når som helst, sikrer en simpel arbitrageargumentation, at prisen mindst svarer til den indre værdi, da en lavere pris ville tillade køb og øjeblikkelig udnyttelse med sikker gevinst. For en europæisk option findes den mulighed ikke, og den nedre grænse er den tilbagediskonterede aftalekurs. En europæisk put med aftalekurs 100 på et aktiv i kurs 40, med to år til udløb og en kontinuert risikofri rente på 5 %, har en indre værdi på 60, men en nedre arbitragegrænse på:

\(P \geq K e^{-r T} – S = 100 \times e^{-0,05 \times 2} – 40 = 90,48 – 40 = 50,48\)

Optionen kan altså handles til eksempelvis 55 uden at åbne for arbitrage, hvilket svarer til en tidsværdi på −5. Årsagen er, at udnyttelse først er mulig ved udløb, hvorfor indehaveren i mellemtiden er afskåret fra at forrente aftalekursen. For en europæisk call på et aktiv uden udbytte gælder det modsatte, da den nedre grænse S − Ke^(−rT) altid overstiger S − K, hvorfor tidsværdien her ikke kan blive negativ. På optioner skrevet på futures kan begge optionstyper handles under den indre værdi, fordi begge ben af udnyttelsen først afregnes ved udløb. Dekomponeringen i indre værdi og tidsværdi er dermed en regnskabsmæssig opdeling af præmien og ikke en påstand om, at præmien er nedadtil begrænset af den indre værdi.

Estimationsusikkerhed, sikkerhedsmargin og regnskabsmæssig kodificering

Den indre værdi er en betinget forventning givet den tilgængelige informationsmængde og ikke en observerbar størrelse. Risikojusteringen kan placeres i enten nævner eller tæller, og de to formuleringer er ækvivalente:

\(V_0 = \frac{E[CF_1]}{1 + r} = \frac{CE[CF_1]}{1 + r_f}\)

Med en pengestrøm, der med lige sandsynlighed bliver 120 eller 80, et risikojusteret afkastkrav på 10 % og en risikofri rente på 5 %, giver de to veje samme resultat:

\(V_0 = \frac{100}{1,10} = 90,91 \qquad CE = 90,91 \times 1,05 = 95,45\)

Risikojusteringen svarer altså til at behandle den usikre pengestrøm på 100 som en sikker pengestrøm på 95,45. Formuleringen med sikkerhedsækvivalenter er at foretrække, når risikoen ikke er proportional med tiden — eksempelvis ved binære udfald af godkendelser eller retssager — hvor et konstant risikotillæg i nævneren fejlagtigt straffer sene pengestrømme hårdest.

Estimatets usikkerhed er struktureret og ikke symmetrisk. For et kapitaliseret led er elasticiteten af værdien med hensyn til spændet mellem afkastkrav og vækst lig −1, hvorfor en fejl på ét procentpoint i et spænd på fem procentpoint flytter værdien med omtrent en sjettedel. Sikkerhedsmarginen bør derfor skaleres efter parameterfølsomheden i det konkrete tilfælde og ikke sættes som en fast procentsats, da en høj margin på et estimat med lav spændfølsomhed og en lav margin på et estimat domineret af terminalleddet begge er fejlallokeringer.

Begrebet er tillige kodificeret regnskabsmæssigt. Ved aktiebaseret vederlæggelse måles egenkapitalafregnede ordninger som udgangspunkt til dagsværdi, men i de sjældne tilfælde, hvor dagsværdien ikke kan opgøres pålideligt, anvendes den indre værdi, som herefter genmåles på hver balancedag frem til endelig afregning med resultatførsel af ændringerne. Ved nedskrivningstest opgøres nytteværdien som nutidsværdien af de fremtidige pengestrømme fra aktivet eller den pengestrømsfrembringende enhed, hvilket er den samme beregning underlagt standardiserede restriktioner på blandt andet omstruktureringer og fremtidige udvidelsesinvesteringer. Forskellen mellem den regnskabsmæssige og den investeringsanalytiske opgørelse ligger i disse restriktioner og ikke i den underliggende værdiopfattelse.