Nytteteori
Nytte som mål for tilfredsstillelse
Nytteteori er den gren af økonomisk og finansiel teori, der beskriver, hvordan mennesker vurderer og rangordner forskellige udfald ud fra den tilfredsstillelse, de forventer at opnå. Tilfredsstillelsen udtrykkes som et tal, kaldet nytte, og formålet er ikke at måle lykke i absolut forstand, men at skabe et redskab, der kan rangordne valgmuligheder konsekvent. Foretrækker en person udfald A frem for udfald B, tildeles A en højere nytteværdi end B. I en finansiel sammenhæng bruges nytteteori til at forstå, hvordan investorer vælger mellem forskellige kombinationer af risiko og afkast, og hvorfor to personer med samme formue kan træffe vidt forskellige investeringsbeslutninger.
En hjælpsom sammenligning findes i forholdet mellem sult og mad. Den første skive pizza stiller sulten markant og giver stor tilfredsstillelse. Den anden skive giver stadig glæde, men mindre end den første, og ved den femte eller sjette skive er den ekstra glæde ved endnu en skive ofte minimal, selvom mætheden fortsat stiger. Det samme mønster gælder for penge: den første tusindlap betyder typisk mere for en person uden opsparing end den tusindlap, der lægges oveni en formue på flere millioner. Denne aftagende ekstra glæde ved hver yderligere enhed er kernen i, hvad der i nytteteori kaldes grænsenytte.
Aftagende grænsenytte
Grænsenytten er den ekstra nytte, en person opnår ved at få én yderligere enhed af et gode, for eksempel én ekstra krone i formue. I langt de fleste finansielle anvendelser antages grænsenytten at være aftagende, hvilket betyder, at hver yderligere krone tilfører mindre og mindre ekstra tilfredsstillelse, jo større formuen i forvejen er. Dette illustreres med en simpel, selvkonstrueret nyttefunktion, hvor nytten af formuen W er givet ved kvadratroden af W:
\(u(W) = \sqrt{W}\)
Med denne funktion kan nytten beregnes ved fire formueniveauer, der hver gang stiger med samme beløb:
\(u(100) = \sqrt{100} = 10{,}00\) \(u(200) = \sqrt{200} = 14{,}14\) \(u(300) = \sqrt{300} = 17{,}32\) \(u(400) = \sqrt{400} = 20{,}00\)
Selvom formuen hver gang stiger med 100 kroner, falder den ekstra nytte fra hvert trin: fra de første 100 kroner opnås en nyttestigning på 4,14, fra de næste 100 kroner kun 3,18, og fra de sidste 100 kroner blot 2,68. Dette er selve definitionen på aftagende grænsenytte, og det er denne egenskab, der gør de fleste mennesker forsigtige over for risiko.
Risikoaversion illustreret med et møntkast
Aftagende grænsenytte fører direkte til risikoaversion, altså en tilbøjelighed til at foretrække et sikkert udfald frem for et usikkert udfald med samme gennemsnitlige værdi. Forestil et valg mellem at modtage 500 kroner med sikkerhed eller at deltage i et møntkast med 50 procents chance for at vinde 1.000 kroner og 50 procents chance for at få 0 kroner. Den gennemsnitlige, forventede værdi er i begge tilfælde 500 kroner, men de fleste mennesker foretrækker alligevel den sikre udbetaling.
Med samme nyttefunktion som ovenfor kan denne præference regnes efter. Nytten af den sikre udbetaling er:
\(u(500) = \sqrt{500} = 22{,}36\)
Den forventede nytte af møntkastet beregnes ved at vægte nytten af hvert udfald med dets sandsynlighed:
\(EU = 0{,}5 \times \sqrt{1000} + 0{,}5 \times \sqrt{0} = 0{,}5 \times 31{,}62 = 15{,}81\)
Da 22,36 er større end 15,81, foretrækker en person med denne nyttefunktion den sikre udbetaling frem for møntkastet, selvom de to muligheder har samme forventede kroneværdi. Denne systematiske foretrækning af det sikre er, hvad der forstås ved risikoaversion, og det samme grundprincip forklarer, hvorfor mennesker er villige til at betale en pris for forsikring for at undgå usikre, men i gennemsnit billigere, tab.
Betydning for investering
I en investeringssammenhæng bruges nytteteori til at forklare, hvorfor investorer generelt kræver et merafkast for at påtage sig risiko, og hvorfor sammensætningen af en portefølje bør afspejle den enkelte investors personlige holdning til risiko frem for én universel formel. En investor med stærk risikoaversion vil kræve en høj kompensation for at flytte formue fra sikre aktiver til aktier, mens en investor med svagere risikoaversion accepterer større udsving i formuen mod udsigten til et højere forventet afkast. Nytteteori giver dermed det formelle grundlag for begreber som risikopræmie og porteføljesammensætning, uden i sig selv at foreskrive én bestemt korrekt portefølje for alle investorer.
Nytteteori
Forventet nytteteori
Den formelle model, der bruges til at beskrive beslutninger under usikkerhed, kaldes forventet nytteteori og er udviklet af John von Neumann og Oskar Morgenstern. Modellen antager, at en beslutningstagers præferencer opfylder et sæt aksiomer, kaldet fuldstændighed, transitivitet, kontinuitet og uafhængighed, og at disse aksiomer tilsammen garanterer, at præferencerne kan repræsenteres af en nyttefunktion, hvor usikre udfald rangordnes efter deres forventede nytte. For en diskret fordeling med n mulige udfald er den forventede nytte givet ved:
\(EU = \sum_{i=1}^{n} p_i , u(W_i)\)
hvor p_i er sandsynligheden for det i’te udfald, og W_i er den tilhørende formue. Det centrale ved formuleringen er, at beslutningstageren ikke maksimerer den forventede formue i sig selv, men den forventede nytte af formuen, hvilket er, hvad der gør det muligt at indbygge risikoholdning direkte i beslutningsmodellen.
Konkave, lineære og konvekse nyttefunktioner
Formen på nyttefunktionen bestemmer, hvordan en person forholder sig til risiko. Er nyttefunktionen konkav, altså aftagende i sin stigningstakt, er dens anden afledte negativ, u”(W) mindre end nul, hvilket svarer til risikoaversion. Er nyttefunktionen i stedet lineær, er den anden afledte lig nul, u”(W) lig nul, og personen er risikoneutral, det vil sige ligeglad med, om en given forventet formue opnås med sikkerhed eller via et usikkert udfald. Er nyttefunktionen konveks, med en positiv anden afledt, u”(W) større end nul, foretrækker personen risiko frem for et sikkert udfald med samme forventede værdi, hvilket kaldes risikovillig adfærd. I finansielle modeller antages langt de fleste investorer at have en konkav nyttefunktion, da dette bedst afspejler den observerede tilbøjelighed til at kræve kompensation for at bære risiko.
Risikopræmie og sikkerhedsækvivalent
To centrale størrelser, der udledes direkte af nyttefunktionen, er sikkerhedsækvivalenten og risikopræmien. Sikkerhedsækvivalenten er det sikre beløb, der giver samme nytte som et usikkert udfald, og defineres implicit ved:
\(u(CE) = E[u(W)]\)
Risikopræmien er forskellen mellem den forventede formue og sikkerhedsækvivalenten:
\(\pi = E[W] – CE\)
Dette kan illustreres med en logaritmisk nyttefunktion, hvor nytten af formuen er givet ved den naturlige logaritme:
\(u(W) = \ln(W)\)
Antag et usikkert udfald, hvor formuen bliver 100 kroner med 50 procents sandsynlighed og 400 kroner med 50 procents sandsynlighed. Den forventede formue er:
\(E[W] = 0{,}5 \times 100 + 0{,}5 \times 400 = 250\)
Den forventede nytte er:
\(EU = 0{,}5 \times \ln(100) + 0{,}5 \times \ln(400) = 0{,}5 \times (4{,}6052 + 5{,}9915) = 5{,}2983\)
Sikkerhedsækvivalenten findes ved at invertere nyttefunktionen:
\(CE = e^{5{,}2983} = 200\)
Risikopræmien bliver dermed:
\(\pi = 250 – 200 = 50\)
En investor med denne nyttefunktion er altså indifferent mellem det usikre udfald og en sikker udbetaling på 200 kroner, og er villig til at give afkald på 50 kroner af den forventede formue for at undgå usikkerheden. Størrelsen af risikopræmien afhænger direkte af, hvor konkav nyttefunktionen er: jo mere krum funktionen er omkring det relevante formueniveau, desto større bliver risikopræmien for en given usikkerhed.
Sammenhæng med porteføljevalg
Forventet nytteteori danner det teoretiske fundament for langt de fleste modeller for porteføljevalg, herunder middelværdi-varians-optimering og kapitalmarkedsmodellen, som begge kan udledes som specialtilfælde af forventet nytte-maksimering under bestemte forudsætninger, for eksempel at afkast er normalfordelte, eller at nyttefunktionen er kvadratisk. Uden for disse særlige forudsætninger er forventet nytteteori den mere generelle ramme, fordi den kan håndtere enhver form for fordeling og enhver grad af risikoaversion, mens middelværdi-varians-tilgangen alene bygger på afkastfordelingens to første momenter.
Nytteteori
Arrow-Pratt-mål for risikoaversion
Graden af risikoaversion, der er indlejret i en given nyttefunktion, kvantificeres formelt gennem Arrow-Pratt-målene. Den absolutte risikoaversionskoefficient er defineret som:
\(A(W) = – \frac{u”(W)}{u'(W)}\)
og måler risikoaversion i forhold til et fast kronebeløb i risiko, uafhængigt af formuens størrelse. Den relative risikoaversionskoefficient er defineret som:
\(R(W) = – \frac{W , u”(W)}{u'(W)} = W , A(W)\)
og måler i stedet risikoaversion i forhold til en fast andel af formuen i risiko. Hvordan A(W) og R(W) udvikler sig med formuen, afgør, hvordan en investors adfærd ændrer sig, efterhånden som formuen vokser. Aftagende absolut risikoaversion indebærer, at investoren i kroner regnet placerer flere midler i risikofyldte aktiver, når formuen stiger, mens konstant relativ risikoaversion indebærer, at den andel af formuen, der placeres i risikofyldte aktiver, er uafhængig af formuens niveau.
CARA- og CRRA-nyttefunktioner
To familier af nyttefunktioner dominerer den kvantitative anvendelse af nytteteori, fordi de giver konstante og dermed analytisk håndterbare risikomål. Den første er CARA-funktionen, constant absolute risk aversion:
\(u(W) = – \frac{1}{a} , e^{-aW}\)
hvor a er en positiv konstant. Denne funktion har konstant absolut risikoaversion lig a for alle formueniveauer, hvilket betyder, at investorens vilje til at bære en given kronerisiko er den samme, uanset hvor stor formuen i øvrigt er. Den anden familie er CRRA-funktionen, constant relative risk aversion:
\(u(W) = \frac{W^{1-\gamma}}{1-\gamma}\)
med den naturlige logaritme som grænsetilfælde, når γ nærmer sig 1. For denne funktion gælder:
\(A(W) = \frac{\gamma}{W}, \qquad R(W) = \gamma\)
Den relative risikoaversion er altså konstant og lig γ, mens den absolutte risikoaversion falder omvendt proportionalt med formuen. CRRA-funktionen er den mest udbredte i moderne porteføljeteori og makrofinansiering, netop fordi konstant relativ risikoaversion giver den empirisk rimelige egenskab, at investorer med voksende formue fastholder en nogenlunde konstant andel i risikofyldte aktiver, mens CARA-funktionen oftere anvendes i modeller, hvor det er analytisk fordelagtigt at arbejde med kronebeløb frem for andele, eksempelvis i modeller for lagerbeholdning hos market makers.
Pratts approksimation af risikopræmien
Sammenhængen mellem risikoaversion og risikopræmien for en lille, symmetrisk risiko kan udledes via en andenordens Taylor-approksimation. Betragt en formue W udsat for en lille tilfældig forstyrrelse med middelværdi nul og varians σ². Investoren er indifferent mellem at acceptere forstyrrelsen og at betale en sikker risikopræmie for at undgå den, hvilket giver betingelsen u(W minus risikopræmien) er lig den forventede nytte af den forstyrrede formue. Ved at Taylor-udvikle begge sider til anden orden omkring W fås på venstre side u(W) minus risikopræmien gange u'(W), og på højre side u(W) plus en halv gange σ² gange u”(W), fordi forstyrrelsens middelværdi er nul. Sættes de to sider lig hinanden, og isoleres risikopræmien, fås Pratts approksimation:
\(\pi \approx \frac{1}{2} , A(W) , \sigma^2\)
Risikopræmien er altså tilnærmelsesvis proportional med både graden af absolut risikoaversion og variansen af den risiko, investoren udsættes for. Med en CARA-investor med a lig 0,0004 og en risiko med en varians på 1.000.000, svarende til en standardafvigelse på 1.000 kroner, bliver risikopræmien:
\(\pi \approx 0{,}5 \times 0{,}0004 \times 1.000.000 = 200\)
Investoren er dermed villig til at betale op til 200 kroner for at eliminere denne specifikke usikkerhed, uafhængigt af det underliggende formueniveau, fordi CARA-funktionen netop har konstant absolut risikoaversion.
Optimal porteføljeandel under CRRA
Samme Taylor-approksimationsteknik kan anvendes til at udlede den optimale andel af formuen, en investor med CRRA-nytte bør placere i et risikofyldt aktiv. Lad w betegne andelen af formuen placeret i det risikofyldte aktiv, mens resten placeres i et risikofrit aktiv. Ved at andenordens-approksimere den forventede nytte omkring formuen ved fuld risikofri placering, og maksimere med hensyn til w, fås en førsteordensbetingelse, der leder frem til:
\(w^{*} \approx \frac{\mu – r_f}{\gamma , \sigma^2}\)
hvor μ er det forventede afkast af det risikofyldte aktiv, r_f er den risikofrie rente, σ² er variansen af aktivets afkast, og γ er koefficienten for relativ risikoaversion. Formlen viser, at den optimale eksponering mod risiko stiger med risikopræmien og falder med både risikoaversionen og variansen. Med en risikopræmie på 6 procent, en relativ risikoaversion på 4 og en varians på 0,04, svarende til en standardafvigelse på 20 procent, bliver den optimale andel:
\(w^{*} = \frac{0{,}06}{4 \times 0{,}04} = \frac{0{,}06}{0{,}16} = 0{,}375\)
En sådan investor bør altså allokere 37,5 procent af formuen til det risikofyldte aktiv og resten til det risikofrie aktiv. Fordobles risikoaversionskoefficienten γ fra 4 til 8, halveres den optimale andel, alt andet lige, til 18,75 procent, hvilket viser, hvor direkte risikoaversionsparameteren fra nyttefunktionen slår igennem på den kvantitative porteføljebeslutning.
Marginal nytte som prisfastsættelseskerne
Ud over at forme individuelle porteføljebeslutninger indgår den marginale nytte direkte i prisfastsættelsen af finansielle aktiver. I en repræsentativ-agent-ramme prissættes et aktiv ved, at dets pris i dag skal svare til den forventede, nytte-vægtede værdi af dets fremtidige udbetaling, udtrykt ved Euler-ligningen:
\(P_t = E_t ! \left[ , \beta , \frac{u'(C_{t+1})}{u'(C_t)} , X_{t+1} \right]\)
hvor β er investorens tidspræferencefaktor, C_t er forbrug, og X_{t+1} er aktivets udbetaling. Forholdet mellem marginalnytterne i to på hinanden følgende perioder fungerer her som en stokastisk diskonteringsfaktor, der vejer fremtidige udbetalinger tungest i de tilstande, hvor marginalnytten af forbrug er højest, typisk tilstande med lavt forbrug og dermed lav samlet velstand. Denne mekanisme er baggrunden for, at aktiver, der giver høje afkast netop i dårlige tilstande, kan prissættes med en lavere forventet afkastpræmie end aktiver, der svigter investoren, når marginalnytten i forvejen er høj. Når standardkalibrerede CRRA-nyttefunktioner anvendes i denne ramme, kræver det historisk observerede forhold mellem aktie- og obligationsafkast typisk en relativ risikoaversionskoefficient, der ligger langt over, hvad der findes plausibelt fra andre kilder til information om risikoholdning, et forhold der i litteraturen er kendt som equity premium-puzzlet.
Grænser for den klassiske forventet nytteteori
Den klassiske forventet nytteteori forudsætter, at investorer vurderer udfald ud fra det endelige formueniveau, og at sandsynligheder indgår lineært i beslutningen. Systematiske afvigelser fra begge disse forudsætninger er dokumenteret i den adfærdsøkonomiske litteratur, blandt andet i form af Allais-paradokset og prospektteori udviklet af Kahneman og Tversky, som begge udfordrer forventet nytteteoris beskrivelse af beslutninger under usikkerhed. Disse rammer nævnes i litteraturen som konkurrerende eller supplerende til forventet nytteteori, men den underliggende matematiske struktur i nytteteori, med en nyttefunktion defineret over formue eller forbrug og maksimeret i forventning, forbliver fundamentet for langt de fleste kvantitative modeller inden for porteføljevalg og aktivprisfastsættelse.
Nytteteori
Alle Har ret til finansiel dannelse
Investering er nok den bedste vej til økonomisk frihed. Hos ABCapital ønsker vi at motivere og forberede alle til at investere. Vi vil gerne gøre investering til en god oplevelse for alle — og sikre, at nybegyndere, i en verden af “investeringsguruer” og TikTok-eksperter, kan træffe beslutninger på et oplyst grundlag.
Hvad tilbyder ABCapital?
Ordbog
En ordbog skrædersyet til dit niveau. Vælg selv om du har brug en forklaring på begynder, øvet eller ekspertniveau. Find +50 begreber med 3 forklaringer til hvert. Fra simple eksempler til sammenhænge på tværs af begreber. I finans og investering hænger ting oftest sammen – stiger renten, kan indtjeningen falde, falder indtjeningen påvirker det værdiansættelsen…
Gratis kursus
Vi mener at investering er for alle. Derfor har vi sammensat et kursus bestående af 20 moduler, hvor du bliver taget igennem alt hvad der kan tænkes nødvendigt for at blive klar til at investere. Hvis der er én ting vi kunne sikre for alle, så var det at deres første investering var en god oplevelse. Bliv klar til aktiemarkedet med et gratis kursus der ikke har nogne skjult agenda
Hvem står bag ABCapital?
Mit navn er Kasper Wesenberg. Jeg er ikke noget investeringsgeni, og jeg investerer ikke bedre end gennemsnittet. Jeg har set en stigende tendens til, at folk deler deres investeringsrejse på TikTok og andre medier, hvor nogle skaber reel værdi, mens andre fremmer investering på en decideret usund måde.
Med ABCapital håber jeg at give kommende investorer muligheden for at lære deres ABC om investering, inden de kaster sig ud i det.
Jeg har en HA (almen) fra CBS med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments. med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments samme sted. Jeg er hverken uddannet investeringsrådgiver eller har taget fancy kurser, men uddannelsen giver mig teoretiske og statistiske indsigter i investeringsverdenen.