Cost-of-carry-modellen og fair value

Den teoretiske fair value af en future på et finansielt aktiv følger af et no-arbitrage-argument, hvor futuresprisen skal svare til spotprisen forrentet med den risikofrie rente og korrigeret for løbende indtægter fra aktivet:

\(F_0 = S_0 , e^{(r – q)T}\)

hvor S0 er den aktuelle spotpris, r er den risikofrie rente under kontinuert forrentning, q er det underliggende aktivs løbende udbytteafkast, og T er tid til udløb målt i år. For råvarer erstattes udbytteafkastet af nettoeffekten af lageromkostninger og convenience yield, hvilket giver den generelle formulering:

\(F_0 = S_0 , e^{(r + u – y)T}\)

hvor u er de kontinuerte lageromkostninger, og y er convenience yield, det vil sige den ikke-pengemæssige fordel ved at besidde det fysiske aktiv frem for en future på aktivet, eksempelvis en raffinaderis mulighed for at opretholde produktionen under en forsyningsafbrydelse.

Et hypotetisk aktieindeks, Indeks X, har en spotværdi på 4.000 point, en risikofri rente på 4 procent p.a. og et løbende udbytteafkast på 1,5 procent p.a. For en future med tre måneders løbetid bliver den fair værdi:

\(F_0 = 4000 \times e^{(0.04 – 0.015) \times 0.25} = 4000 \times e^{0.00625} \approx 4025.08\)

Konvergens, basis og cash-and-carry-arbitrage

Basis konvergerer mod nul, idet spot- og futuresprisen pr. definition bliver identiske på udløbstidspunktet, hvor T går mod nul, og cost-of-carry-leddet dermed forsvinder. Afviger markedsprisen på futuren fra den teoretiske fair value, opstår et risikofrit arbitragevindue. Handler futuren over fair value, kan en arbitrageur udnytte forskellen gennem en cash-and-carry-strategi: aktivet købes for lånte midler i spotmarkedet, samtidig med at der indtages en kort position i futuren til den for høje markedspris. Ved udløb leveres det oplånte aktiv ind mod futuren, og lånet indfries. Handler futuren under fair value, anvendes den omvendte strategi, reverse cash-and-carry, hvor aktivet sælges eller shortes, og provenuet placeres til den risikofrie rente, mens der indtages en lang position i den underprisede future.

Indeks X-futuren fra eksemplet ovenfor handles i markedet til 4.035 point, mens den beregnede fair value er 4.025,08 point, og kontraktens multiplikator er 10 kroner per indekspoint. En arbitrageur sælger futuren til markedsprisen og køber samtidig det underliggende indeks for lånte midler. Ved udløb leveres indekset ind mod futuren, og den risikofrie gevinst per kontrakt bliver:

\((4035 – 4025.08) \times 10 \approx 99.2 \text{ kr}\)

Gevinsten er uafhængig af indeksets faktiske bevægelse i løbet af de tre måneder, fordi den korte futuresposition og den lange spotposition til enhver tid modsvarer hinanden. Den finansieringsrente, som markedsprisen på futuren implicit svarer til, kaldes den implicitte repo-rente og kan udledes direkte af markedsprisen:

\(r_{implicit} = \frac{1}{T} \ln\left(\frac{F_0}{S_0}\right)\)

Den implicitte repo-rente bruges i praksis til at sammenligne den indlejrede finansieringsomkostning i futuresmarkedet med de faktiske pengemarkedsrenter og dermed til at vurdere, om en cash-and-carry-position er profitabel efter transaktionsomkostninger.

Futures- versus forwardprisen under stokastiske renter

En future og en tilsvarende forward med identisk underliggende aktiv og udløbstidspunkt er under deterministiske renter prismæssigt identiske, fordi begge kan replikeres med samme cost-of-carry-argument. Under stokastiske renter opstår der imidlertid en systematisk forskel, når det underliggende aktivs pris er korreleret med renteniveauet. Er korrelationen positiv, vil en lang futuresposition på grund af den daglige afregning generere gevinster netop i perioder, hvor renterne samtidig er høje, hvilket betyder, at gevinsterne kan geninvesteres til en højere rente. Tab opstår omvendt i perioder med lavere renter, hvor finansieringsomkostningen af tabet også er lavere. Denne asymmetriske geninvesteringseffekt gør den lange futuresposition mere værd end den tilsvarende forwardposition, hvorfor futuresprisen i teorien ligger over forwardprisen, når korrelationen er positiv, og under, når den er negativ. Effekten, ofte betegnet en konveksitetsjustering, er forsvindende for kortsigtede kontrakter med lav volatilitet, men bliver økonomisk relevant for langsigtede rentefutures, hvor markedsaktører korrigerer den implicitte forwardrente, der kan udledes af futuresprisen, i forhold til den faktiske forwardrente.

Obligationsfutures og cheapest-to-deliver

En obligationsfuture giver den korte position ret til at vælge, hvilken af flere leveringsberettigede obligationer der skal afleveres ved udløb, forudsat at obligationen opfylder kontraktens løbetidskrav. Fordi obligationerne har forskellig kupon og løbetid, ville en direkte levering uden korrektion gøre visse obligationer systematisk billigere at levere end andre. Børsen udligner dette ved at tildele hver leveringsberettiget obligation en konverteringsfaktor, beregnet som den pris, obligationen ville have, hvis den blev forrentet til en standardiseret referencerente på 6 procent p.a. Ved levering modtager den korte position en fakturapris beregnet som:

\(\text{Fakturapris} = F \times CF + \text{Paaloebne renter}\)

hvor F er futurens afregningskurs, og CF er konverteringsfaktoren for den valgte obligation. Fordi konverteringsfaktoren kun er en approksimation af obligationens relative værdi ved 6 procent-referencerenten, vil markedets faktiske renteniveau typisk afvige herfra, hvilket gør nogle obligationer relativt billigere at anskaffe og levere end andre. Den obligation, der minimerer leveringsomkostningen for den korte position, kaldes cheapest-to-deliver og bestemmes som:

\(\text{Leveringsomkostning} = P_{koeb} – (F \times CF)\)

To hypotetiske leveringsberettigede obligationer til en obligationsfuture, der afregner til kurs 108,00, illustrerer mekanismen. Obligation A handles til kurs 98,50 og har en konverteringsfaktor på 0,91, mens obligation B handles til kurs 101,20 og har en konverteringsfaktor på 0,94. Leveringsomkostningen for hver obligation bliver:

\(A: ; 98.50 – (108.00 \times 0.91) = 98.50 – 98.28 = 0.22\)

\(B: ; 101.20 – (108.00 \times 0.94) = 101.20 – 101.52 = -0.32\)

Obligation B har den laveste leveringsomkostning og er dermed cheapest-to-deliver i dette eksempel, hvilket betyder, at futurens prisadfærd frem mod udløb i praksis vil følge obligation B tæt, justeret for dennes konverteringsfaktor. Fordi cheapest-to-deliver-obligationen kan skifte, hvis renteniveauet ændrer sig markant, indeholder den korte position reelt en indlejret leveringsoption, hvis værdi isoleret set trækker futuresprisen en smule under den rene cost-of-carry-værdi af den aktuelle cheapest-to-deliver-obligation.

Rulleafkast og terminskurvens struktur

Investorer, der ønsker vedvarende eksponering via futures ud over en enkelt kontrakts løbetid, må rulle positionen ved løbende at lukke den udløbende kontrakt og genåbne i en senere kontraktmåned. Denne rulning giver anledning til et rulleafkast, der afhænger af hældningen på terminskurven, det vil sige sammenhængen mellem futurespriser for samme underliggende aktiv på tværs af udløbsmåneder:

\(\text{Rulleafkast} \approx -\frac{F_{fjern} – F_{naer}}{F_{naer}}\)

Er kurven i contango, ligger fjernere kontrakter højere end nærmere, og en lang position realiserer et negativt rulleafkast, fordi den udløbende kontrakt sælges billigere end den nye position åbnes til. Er kurven i backwardation, er forholdet omvendt, og rulningen bidrager positivt. En råoliefuture illustrerer mekanismen: den nærmeste kontrakt, der snart udløber, handles til 75,00 dollar per tønde, mens den næste kontraktmåned handles til 76,50 dollar per tønde. Terminskurven er dermed i contango, og rulleafkastet ved at flytte positionen fra den nære til den fjerne kontrakt bliver:

\(-\frac{76.50 – 75.00}{75.00} = -\frac{1.50}{75.00} \approx -0.02 = -2%\)

En vedvarende lang eksponering opnået gennem gentagne rulninger i en vedvarende contango-struktur vil dermed systematisk underprestere en direkte spoteksponering, selv hvis spotprisen på råolien er uændret over perioden. Dette er en central mekanisme bag afvigelsen mellem afkastet på råvarefutures og den underliggende spotprisudvikling over tid.

Minimum-varians hedgeratio

Når en future ikke er en perfekt afspejling af det aktiv, der ønskes afdækket, kan den optimale hedgestørrelse findes ved at minimere variansen af den samlede afdækkede position. Den resulterende minimum-varians hedgeratio er:

\(h^{*} = \rho_{S,F} \times \frac{\sigma_S}{\sigma_F}\)

hvor ρS,F er korrelationen mellem ændringer i spotprisen og futuresprisen, og σS og σF er de respektive standardafvigelser. Ratioen svarer matematisk til hældningskoefficienten i en lineær regression af spotprisændringer på futuresprisændringer. Det optimale antal kontrakter findes herefter som:

\(N^{*} = h^{*} \times \frac{V_{portefoelje}}{V_{future}}\)

hvor Vportefølje er værdien af den eksponering, der skal afdækkes, og Vfuture er værdien af én futures-kontrakt. En aktieportefølje på 50.000.000 kroner skal afdækkes med en aktieindeksfuture. Korrelationen mellem porteføljens afkast og futuresprisens ændringer estimeres til 0,85, porteføljens årlige volatilitet til 20 procent og futurens årlige volatilitet til 16 procent, hvilket giver:

\(h^{*} = 0.85 \times \frac{0.20}{0.16} = 0.85 \times 1.25 = 1.0625\)

Futuren handles til 4.000 point med en kontraktmultiplikator på 25 kroner per point, hvilket giver en kontraktværdi på:

\(V_{future} = 4000 \times 25 = 100000 \text{ kr}\)

Det optimale antal kontrakter, der skal sælges som kort position for at afdække porteføljen, bliver herefter:

\(N^{*} = 1.0625 \times \frac{50000000}{100000} = 1.0625 \times 500 = 531.25 \approx 531 \text{ kontrakter}\)

Hedgeratioen over 1 afspejler, at porteføljens volatilitet er højere end futurens, korrigeret for korrelationen mellem de to. Da antallet af kontrakter afrundes til et helt tal, opstår der en mindre resterende basisrisiko, som er den risiko, der stammer fra, at spot- og futuresprisen ikke bevæger sig fuldstændig proportionalt.