Durationen som førstemoment

Vægtene w_t er ikke-negative og summerer til 1 for enhver betalingsstrøm med positive betalinger, hvilket gør dem til et sandsynlighedsmål på betalingstidspunkterne. En Macaulay duration er da førstemomentet i denne fordeling, D = E_w[t], og hele apparatet af momentbetragtninger kan overføres. Andetmomentet E_w[t²] beskriver, hvor spredt betalingerne ligger omkring gennemsnittet, og danner grundlag for hele forbindelsen mellem durationens niveau og dens egen stabilitet.

Under kontinuert tilskrivning falder sondringen mellem Macaulay duration og modificeret duration bort. Med P = Σ CF_i e^(−y t_i) gælder

\(\frac{\partial P}{\partial y} = – \sum_{i=1}^{n} t_i CF_{t_i} e^{- y t_i} = – D \cdot P\)

Faktoren 1/(1 + y) er alene et artefakt af diskret tilskrivning, hvilket forklarer, hvorfor durationsberegninger på tværs af markeder med forskellige terminskonventioner kun er sammenlignelige efter konvertering til en fælles tilskrivningsbasis.

Dispersionsidentiteten

Vægtenes rentefølsomhed følger af d ln w_i/dy = (D − t_i)/(1 + y), hvilket giver en eksakt identitet for, hvordan durationen selv ændrer sig med renten:

\(\frac{\partial D}{\partial y} = – \frac{1}{1 + y}\left[\sum_{i=1}^{n} w_i t_i^{2} – D^{2}\right] = – \frac{\mathrm{Var}_w(t)}{1 + y}\)

Da variansen er ikke-negativ, er en Macaulay duration strukturelt aftagende i renten for enhver betalingsstrøm med positive betalinger. Faldets størrelse styres ikke af durationens niveau, men af betalingernes spredning: en portefølje, hvor betalingerne er koncentreret omkring durationspunktet, har en stabil duration, mens en barbell-struktur med samme duration har en langt mere ustabil duration.

Anvendes identiteten på den femårige obligation med 4 % kupon ved 6 %, hvor vægtene er 0,04121, 0,03887, 0,03667, 0,03460 og 0,84864, fås E_w[t²] = 22,2965 og dermed

\(\mathrm{Var}_w(t) = \text{22,2965} – \text{4,6106}^{2} = \text{1,0389}, \qquad \frac{\partial D}{\partial y} = – \frac{\text{1,0389}}{\text{1,06}} = – \text{0,980}\)

Et renteløft på 100 basispoint forudsiges altså at sænke durationen med 0,0098 år. Den eksakte genberegning ved en effektiv rente på 7 % giver 4,6005 mod 4,6106, altså et fald på 0,0100 — differencen er tredjeordenseffekten.

Horisontegenskaben

Den egenskab, der gør en Macaulay duration operationelt anvendelig ud over kursfølsomhed, er dens rolle som den entydige investeringshorisont, hvor kursrisiko og genplaceringsrisiko ophæver hinanden til første orden. Fremtidsværdien ved horisonten H med genplacering til den gældende effektive rente er FV(H) = P(y)(1 + y)^H, og

\(\frac{\partial}{\partial y}\left[P(y)(1 + y)^{H}\right] = (1 + y)^{H – 1}\left[P'(y)(1 + y) + H \cdot P(y)\right] = (1 + y)^{H – 1} P(y)\left[H – D\right]\)

Udtrykket forsvinder præcis når H = D. Sættes horisonten til 4,6106 år på den femårige obligation, giver et øjeblikkeligt parallelskift følgende fremtidsværdier:

\(
\begin{array}{lrr}
y & P(y) & FV(\text{4,6106}) \\
\hline
5\ \% & \text{956,71} & \text{1198,04} \\
6\ \% & \text{915,75} & \text{1197,99} \\
7\ \% & \text{876,99} & \text{1198,05}
\end{array}
\)

Spredningen er under 0,01 % af det investerede beløb, og fordi anden ordens leddet er positivt, ligger det uskiftede scenarie i minimum — et renteskift i begge retninger er en marginal gevinst. Til sammenligning giver samme skift ved en horisont på 5 år fremtidsværdierne 1221,03, 1225,48 og 1230,03, altså en spredning på cirka 9 enheder. Sammenfaldet mellem horisont og duration er dermed ikke en tilnærmelse af risikostyring, men en eksakt førsteordensbetingelse.

Generalisering til en ikke-flad rentestruktur

Definitionen med en enkelt effektiv rente forudsætter en flad rentekurve, hvilket sjældent er opfyldt. Fisher-Weil-generaliseringen erstatter den fælles diskonteringsrente med observerede nulkuponrenter z(t):

\(D_{FW} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} t_i \cdot CF_{t_i} \cdot e^{- z(t_i) t_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} CF_{t_i} \cdot e^{- z(t_i) t_i}}\)

Denne størrelse måler følsomheden over for et parallelskift i den kontinuert tilskrevne nulkuponkurve og reducerer til den klassiske definition, når kurven er flad. Forskellen mellem de to mål er systematisk og ikke tilfældig: ved en stejl kurve diskonteres de fjerne betalinger hårdere, end den gennemsnitlige effektive rente antyder, hvorved Fisher-Weil-målet ligger under det klassiske. Ikke-parallelle bevægelser fanges af ingen af dem, hvilket motiverer nøgletalsdurationer som selvstændig disciplin.

Beregning mellem terminer og forløbet over tid

Ved afregning inde i en kuponperiode ligger betalingstidspunkterne på k − f perioder fra afregningsdatoen, hvor f er den forløbne andel af perioden. Diskonteringen fra afregningsdatoen skalerer samtlige nutidsværdier med den fælles faktor (1 + y)^f, hvorved vægtene er identiske med dem, der beregnes pr. seneste termin. Deraf følger identiteten

\(D_{\text{afregning}} = D_{0} – f\)

målt i perioder, hvor D₀ er durationen opgjort pr. seneste terminsdato. Nutidsværdien i nævneren skal i denne sammenhæng være den samlede afregningsværdi inklusive vedhængende renter; anvendes den rene kurs, overvurderes durationen systematisk.

Identiteten indebærer, at durationen inden for en kuponperiode falder én til én med den forløbne tid, når renten holdes konstant, hvorefter den springer opad på terminsdagen, idet den korteste betaling udgår af vægtningen. Nettoeffekten over en fuld periode er et fald på mindre end én periode: eksemplets obligation går fra 4,6106 år til 3,7658 år, altså et fald på 0,845 år. En porteføljes duration driver derfor opad i forhold til en fast målsætning, hvilket nødvendiggør periodisk rebalancering selv i et uændret rentemiljø.

Aggregering og definitionens grænser

Porteføljens Macaulay duration som værdivægtet gennemsnit af de enkelte papirers durationer

\(D_{P} = \sum_{j=1}^{m} \frac{V_j}{\sum_{k=1}^{m} V_k} \cdot D_j\)

er kun eksakt, når alle papirer prisfastsættes til den samme effektive rente. Ved forskellige renter afviger det værdivægtede gennemsnit fra den duration, der beregnes på porteføljens aggregerede betalingsstrøm diskonteret med porteføljens interne rente, og afvigelsen vokser med rentespredningen på tværs af beholdningen.

Konstruktionen forudsætter deterministiske og positive betalinger. Ved indbyggede optionselementer er betalingsplanen tilstandsafhængig, og vægtene w_t er ikke længere veldefinerede uden en model for udnyttelsesadfærd; her erstattes målet af effektiv duration, der beregnes ved fuld omprisning. Ved negative mellemliggende betalinger kan enkelte vægte blive negative, hvorved fortolkningen som sandsynlighedsmål bryder sammen, og resultatet kan falde uden for intervallet mellem første og sidste betalingstidspunkt. Ved variabelt forrentede papirer kollapser durationen til tiden frem til næste rentefastsættelse, fordi kursen på det tidspunkt per konstruktion vender tilbage mod pari.