Kvantitative mål for moneyness

Moneyness parametriseres på flere måder end det simple forhold mellem spotkurs og aftalekurs. Den logaritmiske moneyness defineres som:

\(m_{log} = \ln\left(\frac{S}{K}\right)\)

og giver en symmetrisk skala omkring at-the-money-punktet, hvor udtrykket antager værdien nul, i modsætning til det simple forhold S/K, som er skævt omkring værdien 1. Denne symmetri gør den logaritmiske moneyness velegnet i modeller, der antager, at det underliggende aktivs afkast er tilnærmelsesvist log-normalfordelt, hvilket er en central antagelse i klassisk optionsprisfastsættelse. Da spotkursen ikke nødvendigvis er det teoretisk korrekte sammenligningsgrundlag, når det underliggende aktiv har en løbende finansieringsomkostning eller -indtægt, defineres moneyness ofte i stedet i forhold til terminskursen, F, altså den kurs, der i dag kan aftales for levering af aktivet på et fremtidigt tidspunkt:

\(m_{fwd} = \frac{F}{K}\)

Forward-moneyness er særligt relevant for aktiver med betydelige finansieringsomkostninger eller -indtægter, såsom udbyttebetalende aktier, råvarer eller valuta, hvor terminskursen kan afvige mærkbart fra spotkursen, og hvor spot-baseret moneyness derfor kan give et misvisende billede af optionens position i forhold til markedets prisfastsættelse af det fremtidige udfald.

Standardiseret moneyness og den risikoneutrale sandsynlighedsfortolkning

Standardiseret moneyness korrigerer den logaritmiske moneyness for volatilitet og tid til udløb, så optioner med forskellig løbetid og forskelligt underliggende aktiv bliver sammenlignelige på samme skala. I den klassiske Black-Scholes-Merton-ramme optræder denne standardisering i de såkaldte d-led:

\(d_1 = \frac{\ln(S/K) + \left(r + \dfrac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}\)

\(d_2 = d_1 – \sigma\sqrt{T}\)

Begge led er funktioner af moneyness via ln(S/K)-leddet, korrigeret for den forventede drift og spredning i det underliggende aktivs kursudvikling frem til udløb. Under den risikoneutrale sandsynlighedsfordeling, som ligger til grund for modellen, kan N(d2) fortolkes som den modelimplicerede sandsynlighed for, at en købsoption udløber in-the-money, hvor N betegner den kumulative fordelingsfunktion for standardnormalfordelingen. Dette gør d2 til et probabilistisk mål for moneyness: jo højere værdien er, desto større er den modelimplicerede sandsynlighed for, at optionen ender in-the-money ved udløb. Det første led, d1, indgår tilsvarende i beregningen af optionens delta og udtrykker dermed en beslægtet, men ikke identisk, standardisering af moneyness.

Et illustrativt taleksempel kan tage udgangspunkt i en option med en spotkurs på 105 kr., en aftalekurs på 100 kr., en risikofri rente på 3 procent, en volatilitet på 25 procent og en resterende løbetid på et halvt år. Den logaritmiske moneyness udgør:

\(\ln\left(\frac{105}{100}\right) \approx 0{,}0488\)

Indsættes denne værdi i udtrykkene for de standardiserede moneyness-mål, fås:

\(d_1 = \frac{0{,}0488 + \left(0{,}03 + \dfrac{0{,}25^2}{2}\right) \times 0{,}5}{0{,}25 \times \sqrt{0{,}5}} \approx 0{,}449\)

\(d_2 = 0{,}449 – 0{,}25 \times \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}272\)

De tilhørende værdier af standardnormalfordelingens fordelingsfunktion er N(d1) ≈ 0,673 og N(d2) ≈ 0,607, hvilket under modellens antagelser svarer til en modelimplicit sandsynlighed på omkring 60,7 procent for, at optionen udløber in-the-money.

Delta som markedskonvention for moneyness

Handlere og market makers angiver ofte en options moneyness via dens delta snarere end via den nominelle aftalekurs, særligt i valutaoptioner og andre OTC-markeder. Praksis kaldes delta-baseret notering og indebærer, at en option beskrives som eksempelvis en 25-delta put eller en 10-delta call i stedet for ved en konkret strike. Baggrunden er, at aftalekursen ikke i sig selv er direkte sammenlignelig på tværs af forskellige underliggende aktiver, løbetider eller markedsniveauer, mens delta indfanger moneyness, volatilitet og tid til udløb i ét samlet, standardiseret tal mellem 0 og 1 for en købsoption og mellem minus 1 og 0 for en salgsoption. En dybt out-of-the-money-option har typisk et delta tæt på 0, mens en dybt in-the-money-option har et delta tæt på 1 (for en salgsoption: tæt på minus 1); en at-the-money-options delta ligger typisk tæt på 0,5 (for en salgsoption: tæt på minus 0,5). Denne delta-baserede skala fungerer som et praktisk supplement til de teoretiske moneyness-mål og muliggør sammenligning af relativ moneyness på tværs af markeder, hvor de nominelle aftalekurser ikke i sig selv udgør meningsfulde sammenligningspunkter.

Moneyness og den implicitte volatilitetsstruktur

Implicit volatilitet er sjældent konstant på tværs af moneyness for en given udløbsdato, selvom den klassiske Black-Scholes-Merton-model forudsætter netop dette. Afbildes den implicitte volatilitet som funktion af moneyness for en fast løbetid, fremkommer typisk et kurvet mønster snarere end en vandret linje. Er mønsteret tilnærmelsesvist symmetrisk omkring at-the-money-punktet, betegnes det som volatilitetssmil, hvilket er mest udbredt i valutaoptioner. Er det asymmetrisk, med systematisk højere implicit volatilitet for out-of-the-money-salgsoptioner end for tilsvarende out-of-the-money-købsoptioner, betegnes det som volatilitetsskævhed eller skew, hvilket er mest udbredt i aktie- og aktieindeksoptioner. Fænomenet afspejler, at markedet ikke prisfastsætter det underliggende aktivs fremtidige afkast som strengt log-normalfordelt med konstant volatilitet, men indregner en forhøjet opfattet risiko for pludselige, store kursfald samt en tendens til, at volatiliteten stiger, når kursen falder. Hertil kommer en strukturel efterspørgsel efter nedadrettet beskyttelse i form af out-of-the-money-salgsoptioner, hvilket isoleret set presser deres implicitte volatilitet opad relativt til at-the-money- og out-of-the-money-købsoptioner. Moneyness udgør dermed den akse, hvorpå volatilitetsstrukturen for en given løbetid udspændes og sammenlignes.

Moneyness og optionens risikosensitivitet

Optionens følsomhed over for ændringer i det underliggende aktiv og i volatiliteten varierer systematisk med moneyness. Gamma og vega er begge størst, når optionen er at-the-money, og aftager, i takt med at optionen bevæger sig længere ind i enten in-the-money- eller out-of-the-money-territorium. Årsagen er den samme usikkerhedslogik, der forklarer fordelingen af tidsværdi: en at-the-money-option er der, hvor små bevægelser i den underliggende kurs har størst betydning for, om optionen ender in-the-money eller out-of-the-money ved udløb, og dermed størst betydning for optionens værdi og delta. Af samme grund er theta, det vil sige tidsforfaldet, typisk mest udtalt i absolutte tal for at-the-money-optioner i takt med, at udløbet nærmer sig, eftersom det er her, den største resterende tidsværdi skal forsvinde inden udløb.