Prisfastsættelse via spotrentekurven

Den simple diskontering af samtlige betalinger med én fælles effektiv rente antager implicit en flad rentestruktur, hvilket sjældent er retvisende. En arbitragefri prisfastsættelse diskonterer i stedet hver enkelt betaling med den spotrente, der gælder for netop den løbetid, betalingen falder på:

$$P=\sum _{t=1}^T\frac{C{F}_t}{(1+s_t{)}^t}$$

hvor $s_t$ er nulkuponrenten, spotrenten, for løbetid $t$. Spotrentekurven konstrueres typisk ved bootstrapping fra en serie af obligationer eller renteswaps med stigende løbetid, hvor hver ny spotrente udledes, så den er konsistent med allerede kendte spotrenter og den observerede pris på det næste instrument i rækken. Forskellen mellem den effektive rente, der er en enkelt intern rente for hele betalingsrækken, og spotrentetilgangen bliver særligt markant, når rentekurven er stejl, fordi den effektive rente da bliver en kompleks sammenvejning af spotrenter langs hele kurven med kuponstørrelsen som vægt. To obligationer med samme løbetid og samme effektive rente, men forskellig kuponrente, kan derfor have forskellig eksponering mod rentekurvens facon, selvom deres effektive renter er identiske.

Modificeret varighed og konveksitet

Den modificerede varighed omregner Macaulay-varigheden til et direkte mål for procentvis prisfølsomhed:

$$D_{mod}=\frac{D_{Mac}}{1+y}$$

hvorved den lineære tilnærmelse til en prisændring ved en renteændring $\Delta y$ bliver:

$$\frac{\mathrm{\Delta }P}{P}\approx -D_{mod}\cdot \mathrm{\Delta }y$$

Denne tilnærmelse er kun præcis for små renteændringer, fordi sammenhængen mellem pris og rente reelt er konveks og ikke lineær. Konveksiteten korrigerer for denne krumning og udtrykkes som:

$$C=\frac{1}{P}\sum _{t=1}^T\frac{C{F}_t\cdot t(t+1)}{(1+y{)}^{t+2}}$$

hvorefter den fulde andenordens-tilnærmelse til prisændringen bliver:

$$\frac{\mathrm{\Delta }P}{P}\approx -D_{mod}\cdot \mathrm{\Delta }y+\frac{1}{2}C\cdot (\mathrm{\Delta }y{)}^2$$

Konveksitetsleddet er altid positivt, fordi $(\Delta y)^2$ altid er positivt, hvilket betyder, at en obligation med positiv konveksitet mister mindre værdi ved en rentestigning, end den vinder ved et tilsvarende rentefald.

En obligation med en pålydende værdi på 1.000 kroner, en årlig kuponrente på 7 procent, en restløbetid på 4 år og en effektiv rente på 7 procent prisfastsættes til:

$$P=\frac{70}{\mathrm{1,07}}+\frac{70}{{\mathrm{1,07}}^2}+\frac{70}{{\mathrm{1,07}}^3}+\frac{1070}{{\mathrm{1,07}}^4}=\mathrm{65,42}+\mathrm{61,14}+\mathrm{57,14}+\mathrm{816,30}=\mathrm{1000,00}$$

Obligationen handles dermed præcis til pari, hvilket bekræfter, at prisen er lig den pålydende værdi, når den effektive rente er lig kuponrenten. De tidsvægtede nutidsværdier giver en Macaulay-varighed på:

$$D_{Mac}=\frac{1\cdot \mathrm{65,42}+2\cdot \mathrm{61,14}+3\cdot \mathrm{57,14}+4\cdot \mathrm{816,30}}{\mathrm{1000,00}}=\frac{\mathrm{3624,32}}{\mathrm{1000,00}}=\mathrm{3,6243}\mathring{\text{a}}\text{r}$$

hvilket giver en modificeret varighed på $D_{mod} = 3{,}6243/1{,}07 = 3{,}3872$ og en tilsvarende beregnet konveksitet på $C \approx 15{,}29$. Ved en stigning i den effektive rente på 50 basispunkter, $\Delta y = 0{,}005$, giver varighed alene:

$$\frac{\mathrm{\Delta }P}{P}\approx -\mathrm{3,3872}\times \mathrm{0,005}=-\mathrm{0,016936}$$

svarende til en prisændring på $-0{,}016936 \times 1000 = -16{,}94$ kroner og en ny pris på $1000{,}00-16{,}94=983{,}06$ kroner. Andenordens-tilnærmelsen med konveksitet giver:

$$\frac{\mathrm{\Delta }P}{P}\approx -\mathrm{0,016936}+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{15,29}\cdot {\mathrm{0,005}}^2=-\mathrm{0,016936}+\mathrm{0,000191}=-\mathrm{0,016745}$$

svarende til en prisændring på cirka $-16{,}75$ kroner og en pris på 983,25 kroner. Genberegnes obligationens pris eksakt ved at neddiskontere samtlige betalinger med en effektiv rente på 7,5 procent, fås ligeledes en pris på 983,25 kroner, hvilket viser, at konveksitetskorrektionen bringer tilnærmelsen praktisk talt sammen med den faktiske, konvekse prisfunktion, mens varigheden alene undervurderer prisen med omkring 0,19 kroner efter renteforhøjelsen.

Dollarvarighed og rentefølsomhedsstyring

Den modificerede varighed omregnes i porteføljeforvaltning ofte til et kronebeløb. Dollarvarigheden angiver prisændringen målt i kroner ved en ændring i den effektive rente på én hel enhed og beregnes som:

$$\text{Dollarvarighed}=D_{mod}\cdot P$$

DV01, dollarværdien af ét basispunkt, skalerer dette kronebeløb yderligere ned til at afspejle en renteændring på præcis ét basispunkt:

$$DV01=D_{mod}\cdot P\cdot \mathrm{0,0001}$$

For en obligation med en modificeret varighed på 3,39 og en pris på 1.000 kroner bliver dollarvarigheden $3{,}39 \cdot 1000 = 3.390$kroner, mens DV01 bliver $3.390 \cdot 0{,}0001 \approx 0{,}34$ kroner pr. basispunkt. DV01 er additiv på tværs af en portefølje af obligationer, hvilket gør målet centralt i immuniseringsstrategier, hvor en forpligtelse med en given varighed og et givet kronebeløb i renterisiko modsvares af en obligationsportefølje med tilsvarende dollarvarighed, så porteføljens værdi og forpligtelsens nutidsværdi bevæger sig parallelt ved små, parallelle renteændringer. Denne form for immunisering beskytter kun mod parallelle skift i rentekurven; skift, hvor korte og lange renter bevæger sig forskelligt, en ændring i rentekurvens hældning eller krumning, kræver i stedet styring via nøglerentevarighed, hvor følsomheden opgøres separat for isolerede punkter på rentekurven.

Konveksitet, indfrielsesret og negativ konveksitet

Konveksitetsformlen forudsætter, at obligationens fremtidige betalinger er faste og uafhængige af renteniveauet. For obligationer med en indbygget indfrielsesret, callable bonds, hvor udstederen kan tilbagekøbe obligationen til en forudbestemt kurs før udløb, ændrer denne antagelse sig, når renten falder tilstrækkeligt til, at indfrielse bliver attraktiv for udstederen. I dette rentescenarie flader prisstigningen ud og kan endda vende, fordi sandsynligheden for tidlig indfrielse stiger og begrænser obligationens opsidepotentiale til omkring indfrielseskursen, et fænomen kendt som negativ konveksitet. Til denne type obligationer anvendes i stedet effektiv varighed og effektiv konveksitet, der beregnes ved at genprisfastsætte obligationen under forskellige rentescenarier via en optionsjusteret model, fremfor at anvende de lukkede formler for Macaulay-varighed og konveksitet direkte. Kreditspændet for obligationer med sådanne indbyggede optioner opgøres ofte som et optionsjusteret spænd, OAS, der isolerer kreditkomponenten fra værdien af den indbyggede option.

Ren kurs, beskidt kurs og påløbne renter

Den kurs, der noteres i markedet, den rene kurs, inkluderer ikke de renter, der er påløbet, men endnu ikke udbetalt siden sidste kupontermin. Den beskidte kurs, eller fulde pris, som er det beløb, en køber faktisk betaler ved handel mellem to kuponterminer, findes ved at lægge de påløbne renter til den rene kurs:

$$P_{dirty}=P_{clean}+AI,AI=C\cdot \frac{t}{T}$$

hvor $AI$er de påløbne renter (accrued interest), $C$ er kuponbetalingen for perioden, $t$ er antal dage siden sidste kupontermin, og $T$ er antal dage i hele kuponperioden, opgjort efter den relevante day count-konvention, eksempelvis 30/360 eller actual/actual. En obligation med en årlig kuponbetaling på 70 kroner handles til en ren kurs på 995,00 kroner, og der er gået 146 dage af den løbende kuponperiode på 365 dage siden sidste betaling. De påløbne renter udgør da $70 \cdot \frac{146}{365} = 28{,}00$ kroner, hvorved den beskidte kurs bliver $995{,}00+28{,}00=1023{,}00$ kroner, det beløb, en køber reelt afregner ved handlen. Sælges obligationen midt mellem to kuponterminer, kompenseres sælger dermed for den andel af den kommende kuponbetaling, der er optjent i sælgers ejerperiode, mens køber ved næste kupontermin modtager hele kuponbetalingen og dermed får refunderet de påløbne renter, der blev betalt ved købet.