Risikoneutral prisfastsættelse

Værdien af en option er nutidsværdien af den forventede udbetaling under det risikoneutrale mål Q, hvor det underliggende aktiv i gennemsnit vokser med den risikofri rente frem for sit faktiske afkast:

\(C = e^{-rT} , \mathbb{E}^{Q}[\max(S_T – K,\ 0)]\)

Skiftet fra det virkelige sandsynlighedsmål til Q er ikke et udtryk for, at investorer er risikoneutrale, men en konsekvens af, at optionen kan replikeres dynamisk med det underliggende aktiv og et pengemarkedsindskud. Når en position kan afdækkes fuldstændigt, forsvinder risikopræmien fra prisfastsættelsen, og kun renten resterer som drift. Denne martingalegenskab, hvor den tilbagediskonterede aktivkurs er en martingale under Q, er det formelle fundament, som enhver konsistent optionsmodel må respektere.

Black-Scholes-Merton-modellen

Under antagelse af en geometrisk brownsk bevægelse med konstant volatilitet, kontinuerlig handel og ingen transaktionsomkostninger har den europæiske call en lukket form:

\(C = S_0 N(d_1) – K e^{-rT} N(d_2)\)

\(d_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{\sigma^2}{2}) T}{\sigma \sqrt{T}}\)

\(d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T}\)

hvor N er den kumulative standardnormalfordeling. Den tilsvarende put er strikekursens nutidsværdi gange N af minus d2 minus den underliggende kurs gange N af minus d1. For en aktie i 100, strikekurs 100, en rente på 5 procent, en volatilitet på 20 procent og et års løbetid bliver d1 lig 0,35 og d2 lig 0,15, med N af d1 lig 0,6368 og N af d2 lig 0,5596. Callen prises da til 100 gange 0,6368 minus 95,12 gange 0,5596, altså 63,68 minus 53,23, hvilket giver 10,45. Via paritet følger en put på 5,57. Selve modellen udspringer af den partielle differentialligning, som en afdækket optionsportefølje må adlyde:

\(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + r S \frac{\partial V}{\partial S} – r V = 0\)

Ligningen fremkommer ved at eliminere kursrisikoen gennem en delta-neutral position og kræve, at den resterende, risikofri portefølje netop forrentes med r. Modellens svaghed er antagelsen om konstant volatilitet og kontinuerlige kursbaner uden spring, hvilket markedet systematisk modsiger.

De græske størrelser

Optionens følsomheder over for de underliggende parametre kvantificeres ved de græske størrelser, som er de partielle afledede af prisen. Delta måler følsomheden over for den underliggende kurs og er for en call lig N af d1, i eksemplet 0,637, hvilket også angiver antallet af enheder af aktivet, der skal holdes for at afdække én option. Gamma måler, hvor hurtigt delta ændrer sig:

\(\Gamma = \frac{\varphi(d_1)}{S_0 \sigma \sqrt{T}}\)

og udgør her cirka 0,0188, hvor lille phi er standardnormalfordelingens tæthed. Vega måler følsomheden over for volatiliteten og skrives som den underliggende kurs gange phi af d1 gange kvadratroden af løbetiden, i eksemplet 37,5, svarende til cirka 0,375 pr. volatilitetspoint. Theta måler tidsforfaldet:

\(\Theta = – \frac{S_0 \varphi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{T}} – r K e^{-rT} N(d_2)\)

og bliver cirka minus 6,41 om året, altså omtrent minus 0,018 pr. kalenderdag. Rho måler rentefølsomheden som strikekursens nutidsværdi gange løbetiden gange N af d2, her 53,2, eller cirka 0,53 pr. rentepoint. Andenordensfølsomheder som vanna, der kobler delta til volatiliteten, volga, der beskriver vegas krumning i volatiliteten, og charm, der beskriver deltas afvandring med tiden, indgår i mere præcis risikostyring omkring store positioner og hændelser.

Dynamisk afdækning og gamma-P&L

En delta-neutral afdækning fjerner førsteordensrisikoen, men efterlader en position, hvis resultat drives af gamma og tidsforfald. Over et lille tidsinterval er resultatet af en delta-afdækket optionsposition tilnærmelsesvis theta gange tidsintervallet plus et halvt gange gamma gange kvadratet på kursændringen. Da theta og gamma er modsatrettede, kan resultatet skrives som en konkurrence mellem realiseret og implicit volatilitet:

\(d\Pi \approx \frac{1}{2} \Gamma S^2 (\sigma_{real}^2 – \sigma_{impl}^2), dt\)

En lang option er dermed lang gamma og lang realiseret volatilitet, men betaler for denne konveksitet gennem tidsforfaldet, der svarer til den indprisede implicitte volatilitet. Med en gamma på 0,0188 fra eksemplet giver et kursspring på 5 en konveksitetsgevinst på omtrent et halvt gange 0,0188 gange 25, altså 0,235, uafhængigt af retningen. Tjener afdækkeren penge, når de faktiske udsving overstiger de indprisede, og taber, når markedet står stille, er kernen i volatilitetshandel netop denne afvejning mellem gamma og theta.

Implicit volatilitet og volatilitetssmilet

Ved at invertere Black-Scholes-Merton for en observeret markedspris udledes den implicitte volatilitet, altså den volatilitet, der gør modelprisen lig markedsprisen. Var modellens antagelser opfyldt, ville denne størrelse være ens for alle strikekurser og løbetider på samme underliggende aktiv. I praksis varierer den systematisk og danner et volatilitetssmil eller en skævhed, hvor aktieindeksoptioner typisk viser højere implicit volatilitet for lave strikekurser som følge af efterspørgsel efter nedadgående beskyttelse og tungere venstrehale end lognormalfordelingen tilsiger. Sammen med variationen på tværs af løbetider udspænder dette en volatilitetsflade, som konsistente modeller må reproducere. Lokal-volatilitetsmodeller som Dupire samt stokastiske volatilitetsmodeller som Heston og SABR nævnes som de rammer, der bygger prisfastsættelsen op omkring hele fladen frem for et enkelt konstant volatilitetsniveau, hvilket gør det muligt at prissætte og afdække optioner konsistent på tværs af strikekurser og udløb.