Dynamisk replikering og den fundamentale differentialligning

Under antagelse af en geometrisk brownsk bevægelse for det underliggende aktiv opstilles en selvfinansierende portefølje bestående af en solgt option og et antal enheder af aktivet svarende til optionens kursfølsomhed. Itôs lemma anvendt på V(S, t) giver et driftled og et diffusionsled, og valget af hedgeforhold eliminerer diffusionsleddet fuldstændigt over et infinitesimalt tidsrum. Den resterende portefølje er lokalt risikofri og må derfor forrente sig med den risikofrie rente, hvilket giver:

\(\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r – q) S \frac{\partial V}{\partial S} – rV = 0\)

Ligningen indeholder ikke det forventede afkast på det underliggende aktiv. To investorer med diametralt modsatte forventninger til kursudviklingen når frem til samme pris, forudsat at de er enige om volatiliteten. Randbetingelsen alene adskiller de forskellige kontrakter, og løsningen for enhver terminal udbetaling kan skrives som en diskonteret forventning under det ækvivalente martingalmål:

\(V_0 = e^{- rT} , \mathbb{E}^{\mathbb{Q}} \left[ \Phi(S_T) \right]\)

Målskifte og fortolkningen af de to normalfordelingsled

Under det risikoneutrale mål har det underliggende aktiv drift r – q, og Girsanovs sætning giver overgangen fra det fysiske mål ved et skift i driften uden ændring af diffusionskoefficienten. Den lukkede løsning for en europæisk call-option er:

\(C = S_0 e^{- qT} N(d_1) – K e^{- rT} N(d_2)\)

\(d_1 = \frac{\ln (S_0 / K) + \left( r – q + \tfrac{1}{2} \sigma^2 \right) T}{\sigma \sqrt{T}} \qquad d_2 = d_1 – \sigma \sqrt{T}\)

De to led er ikke symmetriske i deres fortolkning. Størrelsen N(d2) er den risikoneutrale sandsynlighed for udnyttelse under bankkontoen som numerær, mens N(d1) er den tilsvarende sandsynlighed under det underliggende aktiv som numerær og samtidig hedgeforholdet. Skiftet til terminsmålet reducerer udtrykket til en formulering i terminskursen, hvilket er den form, der anvendes til optioner på futures og på renteinstrumenter, hvor diskontering og drift ikke kan behandles under samme numerær.

Numerisk illustration og en anvendelig approksimation

Med S = 100, K = 100, r = 0, q = 0, volatilitet 20 procent og et års løbetid:

\(d_1 = \frac{0 + 0{,}5 \times 0{,}20^2 \times 1}{0{,}20} = 0{,}10 \qquad d_2 = – 0{,}10\)

\(C = 100 \times \left( 0{,}539828 – 0{,}460172 \right) = 7{,}9656\)

En førsteordens udvikling omkring nul giver den approksimation, der anvendes til hovedregning på at-the-money-forward-optioner:

\(C \approx \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} , S , \sigma \sqrt{T} = 0{,}3989 \times 100 \times 0{,}20 = 7{,}98\)

Afvigelsen fra den eksakte værdi er af tredje orden i volatiliteten gange kvadratroden af løbetiden og er derfor ubetydelig for realistiske parametre.

Grækerne som en identitet, ikke som separate størrelser

Differentialligningen omskrevet i følsomhederne giver en bindende relation mellem tidsforfald, konveksitet og hedgeforhold:

\(\Theta = rV – (r – q) S \Delta – \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \Gamma\)

For eksemplet ovenfor med rente nul:

\(\Gamma = \frac{\varphi(d_1)}{S \sigma \sqrt{T}} = \frac{0{,}396953}{100 \times 0{,}20} = 0{,}019848\)

\(\frac{1}{2} \Gamma S^2 = 0{,}5 \times 0{,}019848 \times 10,000 = 99{,}24\)

\(\Theta = – 0{,}20^2 \times 99{,}24 = – 3{,}9695 \text{ pr. år} = – 0{,}015752 \text{ pr. handelsdag}\)

Tidsforfaldet er dermed ikke en selvstændig risikokilde, men den pris, der betales for konveksiteten. En delta-afdækket lang optionsposition kan ikke have positiv konveksitet uden negativt tidsforfald, og forholdet mellem dem fastlægges udelukkende af den volatilitet, positionen er prisfastsat med.

Afdækningsresultatet som en handel i realiseret mod implicit volatilitet

Andenordensudviklingen af værdiændringen for en kontinuert delta-afdækket position giver:

\(d \Pi \approx \frac{1}{2} \Gamma S^2 \left[ \left( \frac{dS}{S} \right)^2 – \sigma_{imp}^2 , dt \right]\)

Break-even-bevægelsen for eksemplet ovenfor følger af at sætte parentesen til nul over én handelsdag:

\(\sqrt{\frac{0{,}20^2}{252}} = 0{,}012599 \quad \Rightarrow \quad 1{,}26 , % \text{ dagligt udsving}\)

Realiseres i stedet en bevægelse på 2 procent:

\(99{,}24 \times \left( 0{,}02^2 – \frac{0{,}20^2}{252} \right) = 99{,}24 \times 0{,}00024127 = 0{,}0239 \text{ pr. aktie}\)

Over hele løbetiden akkumuleres resultatet til:

\(\Pi_T \approx \frac{1}{2} \int_0^T \Gamma_t S_t^2 \left( \sigma_{real}^2 – \sigma_{imp}^2 \right) dt\)

Vægtningen med den løbende konveksitet gange kvadreret kurs gør resultatet stiafhængigt. En position kan prisfastsættes med en volatilitet under den efterfølgende realiserede og alligevel tabe penge, hvis de store bevægelser indtræffer på tidspunkter, hvor kursen er langt fra udnyttelseskursen og konveksiteten dermed er lav. Denne stiafhængighed er den centrale grund til, at afdækning mod en fast volatilitet ikke er en ren varianseksponering.

Volatilitetsfladen og modellen som kvoteringssprog

Markedspriser på tværs af udnyttelseskurser og løbetider er ikke konsistente med ét volatilitetstal. Den implicitte volatilitet betragtes derfor som en flade, og den lukkede løsning fungerer som en bijektiv afbildning mellem pris og kvoteret volatilitet frem for som en beskrivelse af kursprocessen. Fladen er ikke frit valgbar: fravær af arbitrage kræver, at prisen er konveks i udnyttelseskursen, hvilket udelukker negative sommerfuglepriser, og at den samlede varians ikke aftager med løbetiden, hvilket udelukker arbitrage i kalenderspreads.

Skævheden i fladen ændrer afdækningen. Den samlede kursfølsomhed inkluderer den indirekte effekt gennem den kvoterede volatilitet:

\(\Delta_{total} = \Delta_{BS} + \mathcal{V} \times \frac{\partial \sigma_{imp}}{\partial S}\)

Forskellen mellem at antage, at fladen er fast i udnyttelseskurs, og at den forskyder sig med kursen, giver systematisk forskellige hedgeforhold og dermed forskellige afdækningsresultater for identiske positioner. Krydsfølsomhederne over for volatilitetsændringer og de modelrammer, der endogeniserer fladen — lokal volatilitet à la Dupire, stokastisk volatilitet à la Heston samt SABR — indgår som alternative konsistensbetingelser på den samme prisflade.

Uddragning af den risikoneutrale tæthed

Anden afledede af prisen med hensyn til udnyttelseskursen giver den diskonterede risikoneutrale tæthed:

\(f_{\mathbb{Q}}(K) = e^{rT} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}\)

Med priserne 10,5205, 7,9656 og 5,9055 for udnyttelseskurserne 95, 100 og 105 under parametrene ovenfor giver den diskrete approksimation:

\(\frac{10{,}5205 – 2 \times 7{,}9656 + 5{,}9055}{5^2} = \frac{0{,}4948}{25} = 0{,}019793\)

Den analytiske lognormale tæthed i samme punkt er 0,019848, og afvigelsen skyldes udelukkende diskretiseringen i udnyttelseskurs. Relationen betyder, at en tilstrækkelig tæt række af noterede optioner fastlægger hele den risikoneutrale fordeling uden yderligere antagelser, og at enhver model, der reproducerer de noterede priser, nødvendigvis reproducerer denne fordeling. Modelvalget kan derfor kun adskille sig i dynamikken mellem tidspunkter, ikke i den marginale fordeling på et givet tidspunkt.

Amerikansk optionalitet og numerisk implementering

Retten til førtidig udnyttelse omdanner problemet til et frit randværdiproblem, hvor udnyttelsesgrænsen skal bestemmes samtidig med værdifunktionen. Værdien opfylder en variationsulighed frem for en ligning, og der eksisterer ingen lukket løsning i det generelle tilfælde. Optimaliteten kan illustreres for en dybt in-the-money put-option med K = 100, S = 20, r = 5 procent og et års løbetid, hvor udnyttelse er praktisk taget sikker, og den europæiske værdi derfor konvergerer mod:

\(K e^{- rT} – S = 95{,}1229 – 20 = 75{,}1229\)

\(\text{Værdi ved øjeblikkelig udnyttelse} = 100 – 20 = 80\)

Fordelen ved at eje udnyttelseskursen kontant overstiger den resterende optionalitet, hver gang det tabte renteafkast på det fastlåste beløb overstiger værdien af den resterende konveksitet. Gitterbaserede metoder og endelige differencer håndterer randproblemet direkte ved at sammenligne fortsættelsesværdien med udnyttelsesværdien i hvert knudepunkt, mens simuleringsbaserede metoder kræver en regressionsestimeret fortsættelsesværdi, som i Longstaff-Schwartz-tilgangen. Ved implementering på handelsbogsniveau lægger sig hertil de finansieringsmæssige justeringer af diskonteringen, herunder sikkerhedsstillelsens forrentning samt kredit- og finansieringsjusteringer, som forskyder den relevante diskonteringskurve væk fra en enkelt risikofri rente.