Nulkuponrenter, diskonteringsfaktorer og terminsrenter

Kurvens primitive objekt er diskonteringsfaktoren P(0,T), altså nutidsværdien af én enhed betalt til tidspunktet T. Nulkuponrenten er blot en omskrivning af denne størrelse:

\(P(0,T) = \frac{1}{\left( 1 + z(0,T) \right)^{T}} = e^{- z_c(0,T) \cdot T}\)

Ingen arbitragebetingelse binder kurvens punkter sammen: et lån ud til T2 skal give samme resultat som et lån ud til T1 rullet videre til den terminsrente, der i dag kan låses fast for intervallet imellem:

\(\left( 1 + z(0,T_2) \right)^{T_2} = \left( 1 + z(0,T_1) \right)^{T_1} \cdot \left( 1 + f(T_1,T_2) \right)^{T_2 – T_1}\)

Med en kurve på 3,00 %, 3,40 % og 3,70 % for et, to og tre år følger de implicitte etårige terminsrenter:

\(f(1,2) = \frac{1{,}034^{2}}{1{,}03} – 1 = \frac{1{,}069156}{1{,}03} – 1 = 0{,}038016\)

\(f(2,3) = \frac{1{,}037^{3}}{1{,}034^{2}} – 1 = \frac{1{,}115158}{1{,}069156} – 1 = 0{,}043026\)

Terminsrenterne ligger systematisk over nulkuponrenterne, når kurven stiger, fordi nulkuponrenten er et gennemsnit af de forudgående terminsrenter. Kurvens hældning oversættes dermed til et niveauskift i terminsstrukturen, hvilket gør terminsrenter langt mere volatile end de spotrenter, de udledes af — en fladning på få basispunkter i den lange ende kan slå ud i tocifrede basispunktbevægelser i de tilhørende terminsrenter.

Kontinuert basis og kurvens differentialstruktur

Omregning til kontinuert basis sker gennem logaritmen, hvorefter renter adderer:

\(z_c = \ln \left( 1 + z \right) \quad \Rightarrow \quad \ln(1{,}034) = 0{,}033435\)

Den kontinuerte terminsrente bliver en simpel differens af tidsvægtede spotrenter:

\(f_c(1,2) = 2 \cdot 0{,}033435 – 1 \cdot 0{,}029559 = 0{,}037311\)

Konsistenstjekket holder, idet ln(1,038016) = 0,037311. I grænsen defineres den momentane terminsrente som den negative logaritmiske afledede af diskonteringsfaktoren:

\(f(0,T) = – \frac{\partial \ln P(0,T)}{\partial T}\)

hvoraf følger, at nulkuponrenten er det aritmetiske gennemsnit af den momentane terminskurve over intervallet:

\(z_c(0,T) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(0,u) , du\)

Denne identitet leverer den præcise betingelse for kurveformen: spotkurven stiger netop dér, hvor terminskurven ligger over den, og topper dér, hvor de to skærer hinanden.

Daytællings- og forrentningskonventioner

En kvoteret sats er meningsløs uden konvention. Simpel forrentning over en periode med d dage og en årsbasis på B dage giver:

\(\text{Rente} = N \cdot r \cdot \frac{d}{B}\)

For en periode på 92 dage og en sats på 4,00 % på en nominel hovedstol på 100 mio.:

\(\text{100.000.000} \cdot 0{,}04 \cdot \frac{92}{360} = \text{1.022.222,22}\)

\(\text{100.000.000} \cdot 0{,}04 \cdot \frac{92}{365} = \text{1.008.219,18}\)

Forskellen på godt 14.000 kr. skyldes udelukkende konventionen. Ækvivalensomregningen mellem de to baser er:

\(r_{365} = r_{360} \cdot \frac{365}{360} = 0{,}04 \cdot \frac{365}{360} = 0{,}040556\)

Sammenligning af satser på tværs af markeder, valutaer og instrumenttyper kræver derfor eksplicit konventionsnormalisering, før nogen basis eller spænd kan tolkes. Tilsvarende gælder for periodejusteringskonventioner, der flytter betalingsdatoer og dermed ændrer den faktiske daytælling.

Bagudkompounderede overnight-renter

Overgangen fra terminsfastsatte referencerenter til risikofrie overnight-satser har flyttet renteberegningen fra en forudkendt sats til en realiseret sammensætning af daglige fixinger:

\(R_{\text{arrears}} = \left( \prod_{i=1}^{n} \left( 1 + r_i \cdot \frac{d_i}{360} \right) – 1 \right) \cdot \frac{360}{D}\)

Renten for en periode kendes dermed først ved dens afslutning, hvilket nødvendiggør betalingsforsinkelse, observationsforskydning eller låsningsperioder i de operationelle konventioner. Samtidig er sammenhængen mellem en overnight-baseret kurve og en kurve bygget på terminsfastsatte satser ikke længere en identitet, men et basisspænd, der afspejler kredit- og likviditetselementer i de underliggende satser. Diskontering foretages i denne ramme på den risikofrie kurve, mens fremskrivning af fremtidige rentebetalinger sker på hver sin projektionskurve — en flerkurve-struktur, hvor én og samme kontrakt inddrager flere renter med hver sin økonomiske fortolkning.

Stokastisk modellering af renteniveauet

Renten behandles i porteføljestyring og prisfastsættelse som en stokastisk tilstandsvariabel med middeltilbagevenden. En affin en-faktor-specifikation lyder:

\(dr_t = \kappa \left( \theta – r_t \right) dt + \sigma , dW_t\)

Løsningen er normalfordelt med momenterne:

\(E\left[ r_T \right] = \theta + \left( r_0 – \theta \right) e^{- \kappa T}\)

\(\text{Var}\left[ r_T \right] = \frac{\sigma^{2}}{2\kappa} \left( 1 – e^{-2 \kappa T} \right)\)

Med en kalibrering på κ = 0,30, θ = 3,50 %, r(0) = 1,50 % og σ = 1,00 % fås for en horisont på to år:

\(E\left[ r_2 \right] = 0{,}035 + \left( 0{,}015 – 0{,}035 \right) e^{-0{,}6} = 0{,}035 – 0{,}02 \cdot 0{,}548812 = 0{,}024024\)

\(\text{Var}\left[ r_2 \right] = \frac{0{,}0001}{0{,}6} \left( 1 – e^{-1{,}2} \right) = 0{,}000166667 \cdot 0{,}698806 = 0{,}000116468\)

Standardafvigelsen bliver 1,0792 procentpoint, og sandsynligheden for et negativt renteniveau på horisonten følger af standardnormalfordelingen ved z = −2,226 og udgør knap 1,3 %. Halveringstiden for afvigelsen fra ligevægtsniveauet er:

\(t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\kappa} = \frac{0{,}693147}{0{,}30} = 2{,}31\)

Middeltilbagevendingshastigheden styrer dermed både konvergensen i middelværdien og den asymptotiske spredning, der stabiliserer sig omkring sigma divideret med kvadratroden af to gange kappa, her 1,291 procentpoint. En specifikation med kvadratrodsvolatilitet af CIR-typen udelukker negative værdier, mens en tidsafhængig ligevægtsparameter af Hull-White-typen tillader eksakt tilpasning til den observerede terminskurve – valget mellem dem er et valg om, hvilke egenskaber ved renteniveauet der skal respekteres.

Måleskift, risikopræmie og konveksitet

Skiftet fra det fysiske til det risikoneutrale mål ændrer rentens drift, men ikke dens volatilitet. Med en konstant markedspris for risiko λ transformeres ligevægtsniveauet til:

\(\theta^{Q} = \theta – \frac{\sigma \lambda}{\kappa}\)

Terminsrenten er dermed ikke en ubetinget prognose for den fremtidige spotrente, men summen af en forventning, en løbetidspræmie og et konveksitetsled. Konveksiteten opstår, fordi diskonteringsfaktoren er en konveks funktion af renten, hvorfor middelværdien af en funktion af renten ikke er lig funktionen af middelværdien. Samme effekt driver forskellen mellem børshandlede renteterminskontrakter med daglig marginafregning og tilsvarende ikke-marginerede terminssatser, hvor korrelationen mellem finansieringsomkostning og kontraktværdi kræver en eksplicit justering, før de to satser kan lægges ind i den samme kurve.

Interpolation og kurvens numeriske følsomhed

Kurvekonstruktion fastlægger kun renten i et endeligt antal knudepunkter, og alt derimellem er et modelvalg med direkte økonomiske konsekvenser. Lineær interpolation i produktet af kontinuert nulkuponrente og løbetid svarer eksakt til en stykkevis konstant momentan terminsrente og garanterer positive terminsrenter, når diskonteringsfaktorerne er faldende. Lineær interpolation direkte i nulkuponrenterne giver derimod terminsrenter på formen z(T) + T·z'(T), som springer ved hvert knudepunkt og danner et savtakket forløb uden økonomisk indhold. Da terminsrenten er en afledet størrelse, forstærker interpolationsmetoden enhver uregelmæssighed i inputdata, og lokal hedging af renterisiko mod enkelte kurvepunkter bliver derfor følsom over for et valg, der i sig selv ikke er observerbart i markedet.

Negative renter og modelvalg

Renteniveauer under nul bryder antagelsen om, at renten er lognormalt fordelt, fordi logaritmen af en negativ størrelse ikke er defineret. Håndteringen sker enten ved et normalfordelt renteudtryk eller ved en forskydning af fordelingen, så en konstant lægges til renten inden logaritmisk transformation. Valget påvirker den implicitte fordeling af fremtidige renteniveauer, kalibreringen af volatilitetsflader og dermed enhver størrelse, der udledes af rentens fordeling frem for dens forventede niveau – hvorfor volatilitet kvoteret på normal basis og volatilitet kvoteret på lognormal basis ikke kan sammenlignes uden konvertering gennem det aktuelle renteniveau.