Diskonteringsfunktionen og de fire ækvivalente repræsentationer

Kurven er fundamentalt diskonteringsfunktionen D(T), en positiv, faldende funktion med D(0) = 1. Under kontinuert rentetilskrivning gælder:

\(D(T) = e^{-z(T),T}, \qquad f(0,T) = -,\frac{\partial \ln D(T)}{\partial T}, \qquad z(T) = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(0,u),du\)

Nulkuponrenten er dermed det aritmetiske gennemsnit af de momentane forwardrenter frem til T. Differentieres den sidste relation, fremkommer en identitet, der bruges operationelt til at kvalitetssikre enhver konstrueret kurve:

\(\frac{\partial z(T)}{\partial T} = \frac{f(0,T) – z(T)}{T}\)

Nulkuponkurven stiger præcis der, hvor forwardkurven ligger over den, og har lokalt ekstremum netop hvor de to skærer hinanden. En pukkelformet nulkuponkurve med maksimum omkring syv år indebærer derfor med matematisk nødvendighed, at forwardkurven krydser nedad i syvårspunktet — ikke som en fortolkning, men som en konsekvens.

Den fjerde repræsentation er parkurven. For en betalingsrække med perioder δ_i:

\(c_N = \frac{1 – D(T_N)}{\sum_{i=1}^{N} \delta_i D(T_i)}\)

Tælleren kan omskrives ved teleskopering, idet δ_i D(T_i) f_i = D(T_{i-1}) – D(T_i), hvorved summen af de vægtede forwardrenter netop bliver 1 – D(T_N). Parrenten er dermed et diskonteringsfaktorvægtet gennemsnit af forwardrenterne:

\(c_N = \sum_{i=1}^{N} w_i f_i, \qquad w_i = \frac{\delta_i D(T_i)}{\sum_{j=1}^{N} \delta_j D(T_j)}\)

Heraf følger den generelle rangordning på en monotont stigende kurve: parrente under nulkuponrente under forwardrente for samme løbetid, med omvendt fortegn på en invers kurve. Afstanden mellem par- og nulkuponkurven skalerer med hældningen og med den samlede varighed af betalingsrækken.

Konstruktion: instrumentvalg, interpolation og forwardglathed

En moderne kurve konstrueres sjældent som én kurve. Efter overgangen til sikkerhedsstillet diskontering adskilles diskonteringskurven, der bygges på dag-til-dag-swaps, fra de projektionskurver, der genererer de fremtidige terminsrenter for hver enkelt tenor. Basis mellem tenorer betyder, at projektionskurven for en tre måneders tenor og for en seks måneders tenor ikke er identiske, og hver kurve kalibreres derfor simultant mod sit eget instrumentsæt, mens alle betalinger diskonteres med den fælles diskonteringskurve. Anvendes futures i den korte ende, skal disse justeres til terminskontraktækvivalens, fordi den daglige marginafregning gør futuresraten højere end den tilsvarende forwardrente.

Interpolationsvalget er ikke kosmetisk, fordi forwardkurven er den afledte af den interpolerede størrelse og derfor forstærker enhver ujævnhed. Lineær interpolation i nulkuponrenter giver stykvis konstant hældning, og da f(T) = z(T) + T z′(T), springer den momentane forwardrente diskontinuert i hvert knudepunkt. Med knuderne z(1) = 3,00 %, z(2) = 3,50 % og z(3) = 3,60 % bliver hældningen 0,50 procentpoint pr. år på det første segment og 0,10 procentpoint pr. år på det andet:

\(f(2^{-}) = 3{,}50 + 2 \times 0{,}50 = 4{,}50,%, \qquad f(2^{+}) = 3{,}50 + 2 \times 0{,}10 = 3{,}70,%\)

Der opstår altså et spring på 80 basispunkter i toårspunktet, som udelukkende er en artefakt af interpolationsmetoden og ikke findes i nogen observeret pris. Log-lineær interpolation i diskonteringsfaktorer giver stykvis konstante momentane forwardrenter og fjerner den kvadratiske forstærkning, men efterlader trappetrin. Kubiske splines i logdiskonteringsfaktorer giver kontinuerte forwardrenter, men er ikke lokale og kan oscillere og i ekstreme tilfælde producere negative forwardrenter i tynde segmenter. Monotone konvekse metoder prioriterer positivitet og lokalitet på bekostning af glathed i anden afledte. Valget afgøres af anvendelsen: prisfastsættelse af lineære produkter tåler trappetrin, mens ethvert produkt med eksponering mod forwardkurvens form kræver kontrolleret glathed.

Parametriske kurver og faktorfortolkning

Til udjævning og relativ værdi anvendes en parametrisk form, hvor forwardkurven specificeres som en sum af et konstantled, et eksponentielt henfaldende led og et led med et pukkelformet forløb:

\(f(\tau) = \beta_0 + \beta_1 e^{-\tau/\lambda} + \beta_2 \frac{\tau}{\lambda} e^{-\tau/\lambda}\)

Integration giver nulkuponkurven på lukket form:

\(z(\tau) = \beta_0 + \beta_1 \frac{1 – e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} + \beta_2 \left( \frac{1 – e^{-\tau/\lambda}}{\tau/\lambda} – e^{-\tau/\lambda} \right)\)

Parametrene har direkte fortolkning: β0 er den asymptotiske lange rente, β0 + β1 er grænseværdien for τ mod nul, altså den momentane korte rente, mens β2 styrer pukkelens amplitude og λ dens placering. Med β0 = 4,00 %, β1 = -1,50 %, β2 = 2,00 % og λ = 2 fås for τ = 1, hvor τ/λ = 0,5:

\(z(1) = 4{,}00 – 1{,}50 \times 0{,}786939 + 2{,}00 \times \left(0{,}786939 – 0{,}606531\right) = 3{,}1804,%\)

og for τ = 10, hvor τ/λ = 5:

\(z(10) = 4{,}00 – 1{,}50 \times 0{,}198652 + 2{,}00 \times \left(0{,}198652 – 0{,}006738\right) = 4{,}0859,%\)

Kurven har dermed en hældning på 90,5 basispunkter mellem ét og ti år, en kort grænseværdi på 2,50 % og en lang asymptote på 4,00 %. Svensson-udvidelsen tilføjer et andet pukkelled med selvstændigt henfald og muliggør to lokale krumninger, hvilket er nødvendigt, når den korte ende er styret af pengepolitiske forventninger og den lange ende samtidig deformeres af strukturel efterspørgsel. Residualerne mellem observerede priser og den tilpassede kurve er selve arbejdsobjektet i relativ værdi: et papir, der handler markant under den tilpassede kurve i afkast, er dyrt i forhold til sine naboer i løbetid.

Kurverisiko: nøglerentevarighed, hovedkomponenter og positionering

Samlet varighed er utilstrækkelig, når risikoen ikke er en parallelforskydning. Eksponeringen opgøres derfor som en vektor af delvise DV01-værdier, hvor kurven perturberes lokalt i hvert knudepunkt, og porteføljens værdiændring måles isoleret. Summen af de delvise værdier er den samlede DV01, men fordelingen på tværs af løbetider afgør, hvordan positionen reagerer på en hældnings- eller krumningsændring.

Hovedkomponentanalyse på ændringer i nulkuponrenter reducerer eksponeringen til tre dominerende faktorer: en niveaufaktor med tilnærmelsesvis ensartet loading over alle løbetider, en hældningsfaktor med modsat fortegn i de to ender, og en krumningsfaktor med samme fortegn i enderne og modsat fortegn i midten. De tre komponenter opfanger hovedparten af den samlede variation, hvilket gør det muligt at afdække en portefølje mod niveau og hældning med ganske få instrumenter.

En stejlingsposition konstrueres DV01-neutralt. En tiårig obligation med modificeret varighed 8,20 og kurs 98,50 har pr. million nominel:

\(\text{DV01}_{10} = 8{,}20 \times 985,000 \times 0{,}0001 = 807{,}70\)

En toårig obligation med modificeret varighed 1,92 og kurs 99,20 har tilsvarende:

\(\text{DV01}_{2} = 1{,}92 \times 992,000 \times 0{,}0001 = 190{,}46\)

Afdækningsforholdet bliver 807,70 / 190,46 = 4,241, så en kort position på 10 mio. i det tiårige punkt modsvares af en lang position på 42,41 mio. i det toårige punkt, hvorved begge ben har en DV01 på 8.077 kr. pr. basispunkt. Falder den toårige rente 15 basispunkter, mens den tiårige stiger 10 basispunkter, giver positionen:

\(15 \times 8,077 + 10 \times 8,077 = 121,155 + 80,770 = 201,925\)

Resultatet er dermed identisk med stejlingen på 25 basispunkter multipliceret med benenes fælles DV01, og positionen er per konstruktion immun over for en parallelforskydning.

En sommerfugl isolerer krumningen. Med en lang position i det femårige punkt på 10.000 kr. pr. basispunkt og korte positioner på 5.000 kr. pr. basispunkt i henholdsvis det toårige og det tiårige punkt er positionen både DV01-neutral og hældningsneutral i 50/50-vægtning. Stiger den toårige rente 5 basispunkter, den femårige 12 basispunkter og den tiårige 7 basispunkter, ændres sommerfuglespændet med 2 × 12 – 5 – 7 = 12 basispunkter, og resultatet bliver:

\(-12 \times 10,000 + 5 \times 5,000 + 7 \times 5,000 = -120,000 + 25,000 + 35,000 = -60,000\)

Da 50/50-vægtningen implicit antager symmetrisk følsomhed i de to vinger, foretrækkes i praksis en vægtning kalibreret til hældningsfaktorens loadings, så positionen er ortogonal på den faktisk observerede hældningsbevægelse frem for på en idealiseret symmetrisk.

Carry, rul og breakeven

Det forventede afkast på en position langs en statisk kurve består af renteindtægten fratrukket finansieringsomkostningen samt værdiændringen ved, at papiret over horisonten glider ned ad kurven mod et lavere rentepunkt. Betragt et femårigt papir med en rente på 3,60 % finansieret til 2,80 %. Carry udgør 80 basispunkter over et år. Ligger det fireårige punkt på 3,45 %, falder papirets rente 15 basispunkter alene ved at ældes, og med en modificeret varighed på 3,80 ved horisonten bliver rulbidraget:

\(3{,}80 \times 15 = 57 \text{ basispunkter}\)

Det samlede forventede afkast er dermed 137 basispunkter, og den parallelforskydning, der netop udsletter det, findes som:

\(\frac{137}{3{,}80} = 36{,}1 \text{ basispunkter}\)

Breakeven-beregningen er den centrale disciplin i kurvepositionering, fordi den oversætter en holdning til kurvens form til en eksplicit tærskel for, hvor meget renten kan stige, før positionen taber. Rulbidraget er størst der, hvor kurven er stejlest i forhold til papirets varighed, hvilket typisk placerer det attraktive punkt i den mellemlange del af en normalt hældende kurve frem for i den lange ende, hvor kurven flader ud, og varigheden gør positionen sårbar.

Konveksitet og den lange ende

Den lange ende af forwardkurven kan ikke tolkes som en ren forventning, fordi prisen på en nulkuponbetaling er konveks i renten. Ved usikkerhed om den fremtidige korte rente giver Jensens ulighed en højere forventet pris end prisen ved den forventede rente, hvilket presser den implicitte rente ned. I en gaussisk specifikation med middeltilbagevending med hastighed a og volatilitet σ gælder identiteten:

\(f(0,T) = \mathbb{E}^{Q}!\left[r(T)\right] – \frac{\sigma^{2}}{2} B(T)^{2}, \qquad B(T) = \frac{1 – e^{-aT}}{a}\)

Med a = 0,10 og σ = 1,00 % bliver B(10) = 6,3212 og B(30) = 9,5021, hvorved korrektionen bliver:

\(\frac{0{,}0001}{2} \times 6{,}3212^{2} = 0{,}0020 = 20 \text{ basispunkter}\)

\(\frac{0{,}0001}{2} \times 9{,}5021^{2} = 0{,}0045 = 45 \text{ basispunkter}\)

Uden middeltilbagevending går B(T) mod T, og korrektionen vokser kvadratisk til σ²T²/2, hvilket for de samme parametre ville give 450 basispunkter i trediveårspunktet. Den kvadratiske vækst er grunden til, at specifikationer uden middeltilbagevending er ubrugelige i den lange ende, og til at konveksitetsleddet i praksis kalibreres mod rentevolatilitetsmarkedet frem for mod historiske udsving.

Konsekvensen for kurvefortolkning er væsentlig. Nulkuponrenten for en lang løbetid kan dekomponeres i den gennemsnitlige forventede korte rente over perioden, en løbetidspræmie og et negativt konveksitetsled. En invertering af den yderste del af kurven mellem tyve og tredive år er derfor forenelig med et helt fladt forventet renteforløb og en positiv løbetidspræmie, fordi konveksitetsleddet vokser hurtigere med løbetiden end præmien. Aflæses den yderste ende som en direkte forventning uden justering for dette led, overvurderes markedets forventning om fremtidige rentefald systematisk.