Kvantilrepræsentation og målets analytiske egenskaber

Med L som tabsvariablen over horisonten defineres målet som den generaliserede inverse af tabsfordelingen:

\(\text{VaR}_{\alpha}(L) = \inf\left{, l \in \mathbb{R} ;:; P(L > l) \le 1 – \alpha ,\right}\)

Formuleret på gevinst- og tabsvariablen X = − L svarer det til den negative α’te nedre kvantil, hvilket forklarer de to fortegnskonventioner, der optræder side om side i risikorapportering. Infimumsformen er nødvendig, fordi fordelingsfunktionen ikke behøver at være kontinuert eller strengt voksende. For diskrete tabsfordelinger er kvantilfunktionen en trappefunktion, og målet springer i α. Denne egenskab har konsekvenser ud over notationen: som funktion af positionsvægte er kvantilen hverken konveks eller glat generelt, hvilket gør porteføljeoptimering under en VaR-restriktion til et ikke-konvekst problem med potentielt mange lokale optima, mens optimering under en variansrestriktion forbliver kvadratisk.

Kohærens og subadditivitetens sammenbrud

Målet opfylder monotonitet, translationsinvarians og positiv homogenitet, men ikke subadditivitet. To identiske og uafhængige eksponeringer illustrerer bruddet. Hver eksponering taber 100 med sandsynlighed 0,03 og intet med sandsynlighed 0,97. Da 0,03 ≤ 0,05, er 95 %-kvantilen for hver enkelt eksponering nul. Fordelingen for summen bliver:

\(P(L = 0) = 0{,}97^{2} = 0{,}9409\)

\(P(L = 100) = 2 \times 0{,}97 \times 0{,}03 = 0{,}0582\)

\(P(L = 200) = 0{,}03^{2} = 0{,}0009\)

Sandsynligheden for et positivt tab er 0,0591 og dermed større end 0,05, hvorfor kvantilen springer:

\(\text{VaR}{0{,}95}(L_1 + L_2) = 100 > 0 = \text{VaR}{0{,}95}(L_1) + \text{VaR}_{0{,}95}(L_2)\)

Diversifikation forøger her den målte risiko. Fænomenet optræder systematisk ved fordelinger med diskrete hop, meget skæve tabsprofiler og halerafhængighed, altså netop i kreditporteføljer og i porteføljer med solgt optionalitet. I den elliptiske fordelingsfamilie forsvinder problemet: her er kvantilen en affin funktion af middelværdi og standardafvigelse, og subadditivitet gælder for ethvert niveau over 0,5. Konsekvensen er, at målets teoretiske svaghed er uskadelig i præcis de porteføljer, hvor den parametriske beregning i forvejen er gyldig, og bindende i de porteføljer, hvor den ikke er.

Risikoallokering via Eulers sætning

Positiv homogenitet af grad 1 i positionsvægtene gør allokeringen entydig gennem Eulers sætning:

\(\text{VaR}{\alpha}(w) = \sum{i=1}^{n} w_i \frac{\partial \text{VaR}_{\alpha}}{\partial w_i}\)

Den generelle form for den partielt afledte er en betinget forventning evalueret præcis i kvantilen:

\(\frac{\partial \text{VaR}{\alpha}}{\partial w_i} = E\left[, L_i ;\middle|; L = \text{VaR}{\alpha} ,\right]\)

Under en delta-normal specifikation reduceres udtrykket til et betaforhold, så komponentbidraget C_i bliver:

\(C_i = \text{VaR}_{\alpha} \times \frac{\operatorname{Cov}(X_i,, X_p)}{\operatorname{Var}(X_p)}\)

For to positioner med kronevolatiliteter på 60.000 og 80.000 og en korrelation på 0,25 gælder:

\(\operatorname{Cov}(X_1,, X_2) = 0{,}25 \times 60,000 \times 80,000 = 1{,}2 \times 10^{9}\)

\(\operatorname{Var}(X_p) = 3{,}6 \times 10^{9} + 6{,}4 \times 10^{9} + 2{,}4 \times 10^{9} = 12{,}4 \times 10^{9}\)

\(\text{VaR}_{0{,}99} = 2{,}326 \times \sqrt{12{,}4 \times 10^{9}} \approx 259,012\)

Kovariansen mellem hver position og porteføljen bliver 4,8 × 10⁹ henholdsvis 7,6 × 10⁹, hvilket giver betaværdierne 0,3871 og 0,6129:

\(C_1 \approx 0{,}3871 \times 259,012 \approx 100,263\)

\(C_2 \approx 0{,}6129 \times 259,012 \approx 158,749\)

Bidragene summerer til den samlede måling, mens de selvstændige målinger på 139.560 og 186.080 summerer til 325.640. Forskellen mellem et komponentbidrag og en selvstændig måling er den centrale skelnen ved limitfastsættelse: komponentbidraget angiver marginal effekt på porteføljeniveau og kan være negativt for en afdækkende position, hvorimod den selvstændige måling ignorerer, hvordan positionen opfører sig i de tilstande, der driver kvantilen. Additiviteten gælder kun eksakt for infinitesimale ændringer; den inkrementelle effekt af at fjerne en hel position afviger fra komponentbidraget i takt med positionens størrelse.

Estimationsusikkerhed i halen

Den empiriske kvantil er en asymptotisk normalfordelt estimator, hvis varians afhænger omvendt af tætheden i kvantilpunktet:

\(\sqrt{n}\left(\hat{q}{\alpha} – q{\alpha}\right) \xrightarrow{d} N\left(0,; \frac{\alpha\left(1 – \alpha\right)}{f\left(q_{\alpha}\right)^{2}}\right)\)

For et vindue på 500 observationer fra en normalfordeling med daglig volatilitet på 1,2 % er tætheden i 99 %-punktet lig 0,0266729 divideret med 0,012, altså 2,2227. Standardafvigelsen på estimatet bliver:

\(\text{se} = \frac{\sqrt{0{,}99 \times 0{,}01 / 500}}{2{,}2227} \approx 0{,}002002\)

På en portefølje på 10.000.000 kr. svarer det til cirka 20.019 kr. omkring et estimat på 279.120 kr., altså en relativ standardafvigelse på omtrent 7,2 %. Det tilsvarende tal ved 95 %-niveauet er cirka 11.343 kr. omkring 197.400 kr., svarende til omtrent 5,7 %. Estimationsusikkerheden vokser altså både absolut og relativt, når niveauet flyttes ud i halen, fordi tætheden falder hurtigere end kvantilen vokser. Ved 99,9 % med et vindue på et enkelt år er estimatet reelt bestemt af en håndfuld observationer, og forskellen mellem to institutters målinger på samme portefølje kan da skyldes vinduesvalg alene.

Skalering under afvigelse fra uafhængighed

Kvadratrodsreglen forudsætter ukorrelerede tilvækster. Variansen af en h-dages sum med autokorrelationer ρ_j er:

\(\operatorname{Var}\left(\sum_{t=1}^{h} r_t\right) = h,\sigma^{2}\left[, 1 + 2 \sum_{j=1}^{h-1} \left(1 – \frac{j}{h}\right)\rho_j ,\right]\)

Med en AR(1)-struktur hvor ρ_j = 0,2 opløftet i j, og h = 10, bliver den vægtede sum 0,21875, og parentesen dermed 1,4375. Den korrekte skaleringsfaktor bliver:

\(\sqrt{10 \times 1{,}4375} \approx 3{,}791\)

mod 3,162 under kvadratrodsreglen. Undervurderingen er cirka 20 %. Positiv autokorrelation i afkast, som typisk optræder i illikvide og afglattede prisserier, gør altså den skalerede måling systematisk for lav, mens negativ autokorrelation trækker den anden vej. Hertil kommer, at selv under uafhængighed skalerer kvantilen kun med kvadratroden, hvis fordelingen er stabil under foldning; for tunge haler konvergerer den aggregerede fordeling mod normalitet, hvorved den skalerede daglige måling overvurderer den sande flerdages kvantil, samtidig med at den daglige måling selv er for lav.

Halekorrektion ved skæve og tunge fordelinger

Cornish-Fisher-udvidelsen justerer normalkvantilen for tredje og fjerde moment og anvendes, hvor de empiriske momenter er stabile nok til at estimere, men fordelingen ikke er normal:

\(z_{CF} = z + \frac{1}{6}\left(z^{2} – 1\right)S + \frac{1}{24}\left(z^{3} – 3z\right)K – \frac{1}{36}\left(2z^{3} – 5z\right)S^{2}\)

Med z = 2,326, en skævhed i tabsfordelingen på 0,5 og en overkurtosis på 3 bliver leddene 0,367523, 0,700788 og −0,094018:

\(z_{CF} = 2{,}326 + 0{,}367523 + 0{,}700788 – 0{,}094018 \approx 3{,}300\)

Anvendt på porteføljen på 10.000.000 kr. med daglig volatilitet på 1,2 %:

\(\text{VaR}_{0{,}99} \approx 3{,}300 \times 0{,}012 \times 10,000,000 = 396,035\)

Korrektionen hæver målingen med omtrent 42 % i forhold til den normalbaserede beregning på 279.120 kr. Udvidelsen er en asymptotisk approksimation og ikke en fordeling; for tilstrækkeligt store værdier af S og K ophører den justerede kvantilfunktion med at være monoton i α, hvorved den producerer kvantiler, der krydser hinanden. Alternativet ved kraftig halerisiko er en eksplicit halemodellering eller en filtreret historisk simulation, hvor observationerne standardiseres med en betinget volatilitet estimeret eksponentielt vægtet med en decay-faktor typisk i omegnen af 0,94 for daglige data, hvorefter de standardiserede residualer resamples og reskaleres med den aktuelle volatilitet. Sidstnævnte gør målingen betinget snarere end ubetinget og fjerner en stor del af den træghed, som et ligevægtet vindue medfører.

Ikke-lineære eksponeringer

Identiteten mellem kvantil og skaleret standardafvigelse forudsætter, at tabet er en lineær transformation af faktorstødene. For konvekse eller konkave værdiprofiler approksimerer delta-gamma-metoden tabet ved et andengradsudtryk i faktorstødene, hvorefter kvantilen udledes af den kvadratiske forms momenter eller ved fuld revaluering under simulation. Momentbaserede tilnærmelser bryder sammen ved kraftig konveksitet nær kvantilpunktet og ved positioner, hvis værdi er diskontinuert i faktorniveauet, hvor kun fuld revaluering giver et pålideligt resultat.

Backtesting og modelvalidering

Under nulhypotesen om korrekt kalibrering er antallet af overskridelser binomialfordelt med parametrene n og 1 − α. Kupiecs test for ubetinget dækning sammenligner den observerede frekvens med den forudsatte:

\(LR_{uc} = -2 \ln \left( \frac{\left(1 – p\right)^{n – x} p^{x}}{\left(1 – \hat{p}\right)^{n – x} \hat{p}^{,x}} \right) ;\sim; \chi^{2}(1)\)

Med n = 250, p = 0,01 og x = 7 er den estimerede frekvens 0,028, og teststørrelsen bliver:

\(LR_{uc} = -2 \left( -34{,}6784 + 31{,}9299 \right) \approx 5{,}50\)

Værdien overstiger den kritiske værdi på 3,84 for et signifikansniveau på 5 %, og hypotesen om korrekt dækning forkastes. Testen har imidlertid lav styrke ved et 99 %-niveau og et års observationer, fordi den forventede overskridelsesfrekvens er 2,5, og fordelingen af testens udfald derfor er grov. Ubetinget dækning er desuden ikke tilstrækkelig: en model kan ramme det rigtige antal overskridelser og samtidig placere dem i klynger, hvilket er uforeneligt med uafhængighedsantagelsen. Christoffersens test supplerer derfor med en Markov-baseret uafhængighedskomponent, og de to teststørrelser kan lægges sammen til en fælles test for betinget dækning med to frihedsgrader.

Valideringen skal foretages mod hypotetisk gevinst og tab, hvor porteføljesammensætningen holdes fast over horisonten, snarere end mod realiseret gevinst og tab, som indeholder intradag-handel, gebyrer og reserveændringer. Anvendes realiseret gevinst og tab, blandes modelfejl sammen med handelsresultat, og teststørrelsen mister sin fortolkning. I den regulatoriske anvendelse kobles overskridelsesoptællingen til en gradueret forøgelse af kapitalmultiplikatoren, hvorved en model, der systematisk undervurderer halen, straffes økonomisk. Målets manglende evne til at beskrive tabets størrelse ud over kvantilen har samtidig drevet den regulatoriske udvikling i retning af Expected Shortfall for handelsbeholdningen, mens Value at Risk fastholdes som operationelt limit- og allokeringsmål på grund af sin direkte fortolkning og sin entydige Euler-dekomponering.