Volatilitetsoverflade
Et landkort over forventede udsving
En volatilitetsoverflade samler de udsvingstal, som markedets optionspriser på ét underliggende aktiv svarer til, i én sammenhængende oversigt. Hver option er defineret ved en aftalekurs og en udløbsdato, og til hver kombination hører ét tal, der udtrykker hvor kraftige kursbevægelser prisen på netop den option forudsætter. Placeres alle disse tal i et koordinatsystem, hvor den ene vandrette akse er aftalekursen, den anden er tiden til udløb, og højden er udsvingstallet, tegner der sig en flade.
Fladen ligner et topografisk kort over et bakket landskab frem for en billardplade. Går man på tværs af aftalekurser for en given udløbsdato, ligger terrænet typisk lavest omkring den aktuelle kurs og stiger ud mod siderne, og på aktieindeks stiger det markant stejlere ud mod de lave aftalekurser end mod de høje. Går man i stedet på langs ad tidsaksen, kan terrænet både stige og falde, alt efter om markedet forventer mere uro på kort eller på langt sigt.
Prisen per enhed af beskyttelse
Overfladen fungerer som et prisskilt for forsikringer på det samme hus. Et selskab tager ikke samme pris per krone dækning for en police, der dækker de første småskader, som for en police, der kun udbetaler ved totalskade, og prisen afhænger desuden af, om policen løber et år eller fem. Optioner prisfastsættes efter samme logik: beskyttelse mod et stort kursfald er dyrere per enhed risiko end en option, der kun rammer ved små bevægelser, og overfladen er den systematiske opgørelse af den forskel.
Et aktiv i kurs 100 kan for eksempel have tremånedersoptioner, hvor aftalekurs 100 svarer til 20 procent, aftalekurs 80 til 26 procent og aftalekurs 120 til 17 procent, mens tolvmånedersoptionen med aftalekurs 100 svarer til 23 procent. De fire tal er fire punkter på overfladen, og fladen fremkommer ved at udfylde mellemrummene mellem dem.
Hvad tallene betyder for prisen
Udsvingstallet oversættes direkte til kroner. For en option med aftalekurs tæt på den aktuelle kurs stiger prisen tilnærmelsesvis proportionalt med tallet, så et spring fra 20 til 26 procent løfter prisen med omtrent samme faktor.
\(\frac{26}{20} = 1{,}30 \qquad 8{,}00 \times 1{,}30 = 10{,}40\)
En option, der koster 8,00 kr ved 20 procent, koster altså cirka 10,40 kr ved 26 procent. Overfladen er derfor ikke et abstrakt diagram, men den direkte forklaring på, hvorfor to optioner på det samme aktiv med samme udløb kan koste vidt forskelligt per enhed beskyttelse.
En fælles måleenhed
Optionspriser i kroner kan ikke sammenlignes på tværs af aftalekurser og udløb, fordi en option langt fra kursen naturligt koster mindre end en option tæt på kursen, og fordi en lang option naturligt koster mere end en kort. Overfladen omregner priserne til en fælles enhed på samme måde, som en kilopris gør varer i forskellige pakkestørrelser sammenlignelige. Når to optioner sammenlignes i den enhed, træder det frem, hvilken af dem markedet reelt prisfastsætter dyrest.
Volatilitetsoverflade
Implicit volatilitet som invers af prisen
Implicit volatilitet er det volatilitetsinput, der får Black-Scholes-formlen til at reproducere den observerede markedspris. Da optionsprisen er strengt voksende i volatiliteten, findes der præcis ét sådant input for enhver arbitragefri pris, og inversionen er dermed veldefineret. For en call med aftalekurs lig terminskursen og nulrente forenkles prisen til
\(C = S\left[2,\Phi!\left(\tfrac{\sigma\sqrt{T}}{2}\right) – 1\right]\)
Med S = 100 og T = 1 giver et input på 20 procent
\(C = 100\left[2,\Phi(0{,}10) – 1\right] = 100,(2 \times 0{,}5398 – 1) = 7{,}96\)
Handler samme option derimod til 9,55, følger den implicitte volatilitet af den omvendte beregning
\(\frac{9{,}55}{100} = 2,\Phi(x) – 1 ;\Rightarrow; \Phi(x) = 0{,}5478 ;\Rightarrow; x = 0{,}12 ;\Rightarrow; \sigma = 0{,}24\)
Selve modellen fungerer her udelukkende som omregningsmekanisme. At overfladen overhovedet er kurvet, er dokumentation for, at antagelsen om konstant volatilitet ikke holder: en enkelt parameter kan ikke samtidigt ramme alle observerede priser.
Aksernes definition
Aftalekursaksen angives sjældent i absolutte kroner, fordi et fast kroneniveau flytter sig relativt til aktivet, når kursen ændrer sig. Standarden er log-moneyness, k = ln(K/F), hvor F er terminskursen for den pågældende udløbsdato. Ved k = 0 ligger optionen præcis på terminskursen, negative værdier ligger under, positive over. I valutamarkedet angives aksen i stedet i delta, hvor et punkt beskrives som 25-delta put eller 25-delta call.
Put-call-paritet medfører, at en put og en call med samme aftalekurs og samme udløb har identisk implicit volatilitet, når begge prisfastsættes mod den samme terminskurs. Overfladen er derfor ét objekt og ikke to, og afvigelser mellem put- og callsiden afspejler i praksis en fejl i den anvendte terminskurs snarere end en reel prisforskel.
Skævhed, smil og terminsstruktur
Snittet gennem overfladen ved fast udløb kaldes smilet, og dets form beskrives sædvanligvis ved to størrelser. Et sæt punkter med 24 procent på 25-delta put, 20 procent på terminskursen og 18 procent på 25-delta call giver
\(RR_{25} = 18 – 24 = -6 \text{ vol-point}\)
\(BF_{25} = \frac{24 + 18}{2} – 20 = 1 \text{ vol-point}\)
Risk reversal måler hældningen, altså hvor asymmetrisk beskyttelse mod fald prisfastsættes i forhold til deltagelse i stigninger, mens butterfly måler krumningen, altså hvor meget dyrere begge yderpunkter er end midten. Snittet på langs ad tidsaksen ved fast log-moneyness kaldes terminsstrukturen og afspejler, hvordan forventet uro fordeler sig over tid, herunder kendte begivenheder inden for enkelte løbetidsintervaller.
Total varians og indbyrdes konsistens
Overfladens interne konsistens vurderes ikke i volatilitet, men i total varians
\(w(k, T) = \sigma_{\text{imp}}^2(k, T), T\)
Total varians skal være ikke-aftagende i tiden ved fast k, fordi en længere option indeholder al den usikkerhed, en kortere indeholder, plus den resterende periode. Punkterne 30 procent på en måned, 20 procent på tre måneder og 22 procent på tolv måneder giver
\(w_{1M} = 0{,}30^2 \times \tfrac{1}{12} = 0{,}0075 \qquad w_{3M} = 0{,}20^2 \times 0{,}25 = 0{,}0100 \qquad w_{12M} = 0{,}22^2 \times 1 = 0{,}0484\)
Rækken er voksende og dermed konsistent. Var tremånederspunktet i stedet 15 procent, ville w_3M = 0,005625 ligge under w_1M, og en position lang den lange og kort den korte option ville have positiv værdi under enhver kursudvikling.
På tværs af aftalekurser sætter kravet om en gyldig sandsynlighedsfordeling grænsen. Anden ordens differens af callpriser i aftalekursen er proportional med den risikoneutrale tæthed, og med priserne 8,00, 5,00 og 3,20 ved aftalekurserne 95, 100 og 105 fås
\(8{,}00 – 2 \times 5{,}00 + 3{,}20 = 1{,}20 > 0 \qquad \hat{f}(100) \approx \frac{1{,}20}{5^2} = 0{,}048\)
Havde midterprisen i stedet været 5,70, ville differensen blive −0,20, hvilket svarer til en negativ tæthed og til en butterfly-position med negativ pris og ikke-negativ udbetaling.
Interpolation og porteføljeanvendelse
Punkter mellem de handlede løbetider fremkommer ved interpolation i total varians langs fast log-moneyness, da lineær interpolation i denne størrelse automatisk bevarer monotonien i tiden. Mellem tre og tolv måneder giver det på seks måneder
\(w_{6M} = 0{,}0100 + \frac{0{,}50 – 0{,}25}{1{,}00 – 0{,}25},(0{,}0484 – 0{,}0100) = 0{,}0228\)
\(\sigma_{6M} = \sqrt{\frac{0{,}0228}{0{,}50}} = 0{,}2135\)
Lineær interpolation direkte i volatilitet ville have givet 20,67 procent, altså et mærkbart lavere niveau og en metodeafhængighed, der forplanter sig til enhver værdiansættelse bygget oven på fladen. På porteføljeniveau opgøres eksponeringen ikke som ét samlet volatilitetstal, men fordelt på løbetidsintervaller og på moneyness-områder, fordi de forskellige dele af fladen bevæger sig hver for sig.
Volatilitetsoverflade
Statisk arbitragefrihed formuleret i total varians
Overfladen er fri for statisk arbitrage, når to betingelser er opfyldt i alle punkter. Kalenderbetingelsen kræver, at total varians er ikke-aftagende i løbetiden ved fast log-moneyness, altså at den partielle afledede af w efter T er ikke-negativ. Butterflybetingelsen kræver, at den implicerede risikoneutrale tæthed er ikke-negativ, hvilket i den implicitte flades egne afledede udtrykkes ved
\(g(k) = \left(1 – \frac{k,\partial_k w}{2w}\right)^{2} – \frac{(\partial_k w)^{2}}{4}\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{4}\right) + \frac{\partial_{kk} w}{2} ;\geq; 0\)
Betingelsen suppleres af et randkrav om, at callprisen går mod nul, når aftalekursen vokser ubegrænset. En flade, der opfylder begge krav sammen med de sædvanlige positivitets- og kontinuitetskrav, kan realiseres af en martingal for den underliggende terminspris, hvorfor kontrollen af g og af tidsmonotonien er en fuldstændig test og ikke blot en tommelfingerregel.
Kontrollen er ikke rent teoretisk. En flade, der er tilpasset punktvist med hver løbetid kalibreret for sig, kan være arbitragefri i hvert enkelt snit og alligevel bryde kalenderbetingelsen i overgangen mellem to snit, og bruddet viser sig først, når fladen anvendes til at prisfastsætte en position, der spænder over begge løbetider.
Vingernes asymptotik
Uden for det handlede aftalekursinterval er fladen ikke observeret, men den er ikke fri. Lees momentformel binder vingernes hældning: total varians kan asymptotisk højst vokse lineært i absolutværdien af log-moneyness med en hældning på højst 2, og hældningen hænger sammen med, hvor mange momenter fordelingen af den underliggende har. En ekstrapolation, der lader den implicitte volatilitet vokse hurtigere end kvadratroden af log-moneyness, implicerer derfor en fordeling uden endeligt førstemoment på den relevante side.
Konsekvensen er, at ekstrapolationen ikke kan vælges frit efter, hvad der ser glat ud. Fladens vinger bærer hovedparten af vægten i enhver replikation, der integrerer over alle aftalekurser, og dermed afgør ekstrapolationsvalget værdiansættelsen af sådanne positioner langt mere end de observerede midterpunkter gør.
Parametrisering af fladen
Snittet ved fast løbetid parametriseres i praksis med en funktionsform, der er lukket under de nævnte betingelser. Den rå SVI-form skriver total varians som
\(w(k) = a + b\left[\rho,(k – m) + \sqrt{(k – m)^{2} + s^{2}}\right]\)
hvor a sætter niveauet, b sætter den samlede vingeåbning, rho vipper fladen, m forskyder den vandret, og s styrer krumningen omkring bunden. Med a = −0,01, b = 0,10, rho = −0,4, m = 0, s = 0,50 og T = 1 fås
\(w(0) = -0{,}01 + 0{,}10\sqrt{0{,}25} = 0{,}04 \;\Rightarrow\; \sigma_{\text{imp}}(0) = 0{,}2000\)
\(w(-0{,}10) = -0{,}01 + 0{,}10\left[0{,}04 + \sqrt{0{,}26}\right] = 0{,}04499 \;\Rightarrow\; \sigma_{\text{imp}} = 0{,}2121\)
\(w(0{,}10) = -0{,}01 + 0{,}10\left[-0{,}04 + \sqrt{0{,}26}\right] = 0{,}03699 \;\Rightarrow\; \sigma_{\text{imp}} = 0{,}1923\)
De asymptotiske hældninger bliver b(1 + rho) = 0,06 og b(1 − rho) = 0,14, begge komfortabelt under grænsen på 2. De afledede i bunden er ∂_k w(0) = b·rho = −0,04 og ∂_kk w(0) = b/s = 0,20, hvilket giver
\(g(0) = 1 – \frac{(-0{,}04)^{2}}{4}\left(\frac{1}{0{,}04} + \frac{1}{4}\right) + \frac{0{,}20}{2} = 1 – 0{,}0004 \times 25{,}25 + 0{,}10 = 1{,}0899\)
Snittet er dermed butterflyfrit i punktet. Den tilsvarende ATM-skævhed er ∂_k w/(2 σ T) = −0,10 per enhed log-moneyness.
Kalibrering snit for snit garanterer ikke konsistens i tidsretningen, og derfor anvendes en fladeparametrisering, hvor terminsstrukturen er indbygget. SSVI-formen skriver
\(w(k, \theta) = \frac{\theta}{2}\left\{1 + \rho\varphi(\theta)k + \sqrt{\left(\varphi(\theta)k + \rho\right)^{2} + 1 – \rho^{2}}\right\}\)
hvor theta er total varians på terminskursen for den pågældende løbetid, hvilket ses ved at sætte k = 0. Kalenderfrihed for hele fladen reduceres til, at theta er ikke-aftagende i løbetiden, kombineret med en øvre grænse for væksten i produktet theta·phi(theta), mens butterflyfrihed reduceres til eksplicitte uligheder i theta·phi(theta) og absolutværdien af rho. Fladen kan dermed valideres analytisk i alle punkter frem for numerisk på et gitter.
Fladens billede i lokal volatilitet
Dupires ligning omskrevet i den implicitte flades egne koordinater giver den lokale varians direkte af total varians
\(\sigma_{\text{lok}}^{2}(k, T) = \frac{\partial_T w}{1 – \frac{k}{w},\partial_k w + \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{4} – \frac{1}{w} + \frac{k^{2}}{w^{2}}\right)(\partial_k w)^{2} + \frac{1}{2},\partial_{kk} w}\)
Nævneren er identisk med g(k). Sammenhængen er ikke en tilfældighed, men den præcise grund til, at fladens arbitragebetingelser og velbestemtheden af den tilhørende lokale varians er samme udsagn: tælleren er ikke-negativ netop under kalenderbetingelsen, nævneren netop under butterflybetingelsen, og en flade, der bryder én af dem, producerer negativ lokal varians i det punkt, hvor bruddet ligger. Med en flad terminsstruktur på 20 procent er ∂_T w = 0,04, og fladen ovenfor giver
\(\sigma_{\text{lok}}^{2}(0, 1) = \frac{0{,}04}{1{,}0899} = 0{,}03670 ;\Rightarrow; \sigma_{\text{lok}}(0, 1) = 0{,}1916\)
I den korte ende gælder desuden, at hældningen af den implicitte flade i log-moneyness omtrent er halvdelen af den tilsvarende hældning i lokal varians omkring terminskursen, hvilket giver en hurtig konsistenskontrol af, om en kalibreret flade producerer en plausibel skævhed.
Fladens dynamik og hedge-ratioer
Fladen er ikke et statisk objekt, og antagelsen om, hvordan den flytter sig, når spotkursen ændrer sig, indgår direkte i afdækningen gennem
\(\Delta_{MV} = \Delta_{BS} + \mathcal{V},\frac{\partial \sigma_{\text{imp}}}{\partial S}\)
For en etårig option på terminskursen med S = 100 og 20 procent er d1 = 0,10, og dermed
\(\Delta_{BS} = \Phi(0{,}10) = 0{,}5398 \qquad \mathcal{V} = S\sqrt{T},\phi(d_1) = 100 \times 0{,}39695 = 39{,}70\)
Skævheden på −0,10 per enhed log-moneyness svarer ved aftalekurs 100 til ∂σ/∂K = −0,001 per krone. Under fast aftalekurs som referencepunkt er ∂σ/∂S lig nul, og hedge-ratioen forbliver 0,54. Under fast moneyness følger smilet spotkursen, så ∂σ/∂S ved fast aftalekurs bliver +0,001, og
\(\Delta_{MV} = 0{,}5398 + 39{,}70 \times 0{,}001 = 0{,}5795\)
Under den dynamik, en lokal volatilitetsflade implicerer, flytter smilet sig i modsat retning af spotkursen med omtrent dobbelt styrke, altså ∂σ/∂S lig −0,002, og
\(\Delta_{MV} = 0{,}5398 + 39{,}70 \times (-0{,}002) = 0{,}4604\)
De tre antagelser giver hedge-ratioer fra 0,46 til 0,58 på den samme option til den samme pris. Forskellen på over 11 delta-point stammer udelukkende fra antagelsen om fladens bevægelse, ikke fra dens aktuelle niveau, og på et bogniveau med stor vega er det den dominerende kilde til afvigelse mellem realiseret og forventet afdækningsresultat.
Skævhedens egen terminsstruktur aftager typisk omtrent som den inverse kvadratrod af løbetiden i modeller med stokastisk volatilitet, hvilket forbinder de to snit gennem fladen. En etårig skævhed på −0,10 per enhed log-moneyness svarer under den skalering til omtrent −0,20 på tre måneder. Afvigelser fra denne skalering i den observerede flade peger mod springkomponenter frem for mod ren diffusiv spot-volatilitetskorrelation.
Risikodekomponering og kalibrering
Eksponering mod fladen opgøres i separate intervaller, fordi et samlet vega-tal skjuler modsatrettede positioner. En bog med 50.000 kr vega per vol-point på tre måneder og −40.000 kr på tolv måneder har et nettotal på +10.000, men ved et fald på 2 point i den korte ende og en stigning på 1 point i den lange ende bliver resultatet
\(\text{P/L} = 50,000 \times (-2) + (-40,000) \times (+1) = -140,000\)
Ud over løbetidsintervaller dekomponeres bevægelserne sædvanligvis i et niveauskift, et hældningsskift og et krumningsskift, hvor følsomheden over for de to sidste beskrives ved vanna og volga. Fladen bærer desuden en implicit forwardkurve, og en fejl her forplanter sig via skævheden. Overvurderes terminskursen med 0,5 procent, forskydes log-moneyness med −0,005, og ved en skævhed på −0,10 giver det
\(\Delta\sigma \approx (-0{,}10) \times (-0{,}005) = +0{,}0005\)
altså et halvt basispoint volatilitet på tværs af hele snittet, hvilket er systematisk snarere end tilfældigt og derfor akkumulerer over positionen. Kalibreringen sker mod midtpriser med vægte, der afspejler spændet og likviditeten i hvert punkt, og med afvigelser målt i volatilitet frem for i kroner, så optioner langt fra terminskursen ikke forsvinder i vægtningen. Fladen prisfastsætter i sig selv kun europæiske standardudbetalinger, og enhver stiafhængig struktur kræver en dynamisk model kalibreret til fladen, hvor valget mellem lokal og stokastisk volatilitet kan give forskellige priser på trods af identisk tilpasning til de samme observerede punkter.
Volatilitetsoverflade
Alle Har ret til finansiel dannelse
Investering er nok den bedste vej til økonomisk frihed. Hos ABCapital ønsker vi at motivere og forberede alle til at investere. Vi vil gerne gøre investering til en god oplevelse for alle — og sikre, at nybegyndere, i en verden af “investeringsguruer” og TikTok-eksperter, kan træffe beslutninger på et oplyst grundlag.
Hvad tilbyder ABCapital?
Ordbog
En ordbog skrædersyet til dit niveau. Vælg selv om du har brug en forklaring på begynder, øvet eller ekspertniveau. Find +50 begreber med 3 forklaringer til hvert. Fra simple eksempler til sammenhænge på tværs af begreber. I finans og investering hænger ting oftest sammen – stiger renten, kan indtjeningen falde, falder indtjeningen påvirker det værdiansættelsen…
Gratis kursus
Vi mener at investering er for alle. Derfor har vi sammensat et kursus bestående af 20 moduler, hvor du bliver taget igennem alt hvad der kan tænkes nødvendigt for at blive klar til at investere. Hvis der er én ting vi kunne sikre for alle, så var det at deres første investering var en god oplevelse. Bliv klar til aktiemarkedet med et gratis kursus der ikke har nogne skjult agenda
Hvem står bag ABCapital?
Mit navn er Kasper Wesenberg. Jeg er ikke noget investeringsgeni, og jeg investerer ikke bedre end gennemsnittet. Jeg har set en stigende tendens til, at folk deler deres investeringsrejse på TikTok og andre medier, hvor nogle skaber reel værdi, mens andre fremmer investering på en decideret usund måde.
Med ABCapital håber jeg at give kommende investorer muligheden for at lære deres ABC om investering, inden de kaster sig ud i det.
Jeg har en HA (almen) fra CBS med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments. med tungt fokus på statistik og regnskab, og læser nu en kandidat i Finance and Investments samme sted. Jeg er hverken uddannet investeringsrådgiver eller har taget fancy kurser, men uddannelsen giver mig teoretiske og statistiske indsigter i investeringsverdenen.