No-arbitrageprincippet: cash-and-carry

Forwardprisens teoretiske niveau følger direkte af et replikationsargument. Under antagelse om, at et aktiv ikke giver løbende udbytte, og at midler kan lånes og udlånes til den risikofrie rente, kan en arbitragør konstruere en syntetisk forwardposition ved at låne beløbet S0 i dag, købe aktivet på spotmarkedet for de lånte midler og samtidig indgå en kort forwardposition til leveringsprisen F0. Ved udløb leveres aktivet i henhold til forwardkontrakten mod betaling af F0, og lånet med påløbne renter, S0(1 + r)^T, indfries. Hvis F0 er højere end dette beløb, giver strategien et risikofrit overskud uden nogen nettoinvestering, og markedskræfterne vil derfor presse F0 ned mod ligevægtsniveauet. Er F0 i stedet lavere, kan den modsatte strategi, reverse cash-and-carry, hvor aktivet sælges short, provenuet placeres til den risikofrie rente, og en lang forwardposition indgås, udnyttes til samme effekt. De to modsatrettede kræfter sikrer, at forwardprisen konvergerer mod:

\(F_0 = S_0 \left(1 + r\right)^T\)

En spotpris på 1.000 kroner, en risikofri rente på 5 procent om året og en markedsnoteret forwardpris på 1.080 kroner for en etårig kontrakt illustrerer mekanismen. Den fair pris er 1.000 × 1,05, altså 1.050 kroner, og markedsprisen på 1.080 kroner er dermed for høj. En arbitragør kan låne 1.000 kroner til 5 procent, købe aktivet for de 1.000 kroner og samtidig indgå en kort forward til 1.080 kroner. Ved udløb leveres aktivet mod de 1.080 kroner, og lånet indfries med 1.000 × 1,05, altså 1.050 kroner. Tilbage står en risikofri gevinst på 30 kroner, opnået uden kapitalbinding og uden markedsrisiko, hvilket illustrerer, hvorfor forwardprisen ikke kan afvige fra ligevægtsniveauet i et velfungerende marked.

Den generelle cost of carry-model

Bærer det underliggende aktiv omkostninger eller fordele i løbetiden, udvides modellen til at inkludere disse. Udbytter, rentebetalinger på obligationer og en eventuel convenience yield på råvarer reducerer forwardprisen, fordi de tilfalder den part, der ejer aktivet direkte i spotmarkedet, og ikke den part, der blot har en forwardposition. Omvendt forøger lager- og forsikringsomkostninger forwardprisen, fordi de udgør en reel udgift for den, der holder aktivet fysisk frem til levering. Den generelle sammenhæng skrives:

\(F_0 = \left(S_0 – \gamma + \theta\right)\left(1 + r\right)^T\)

hvor γ er nutidsværdien af de fordele, aktivet genererer i løbetiden, og θ er nutidsværdien af de tilsvarende omkostninger. En aktie, der i dag koster 400 kroner og forventes at udbetale et udbytte på 8 kroner om seks måneder, illustrerer modellen, når den risikofrie rente er 4 procent om året, og forwardkontrakten løber i ét år. Nutidsværdien af udbyttet er 8 divideret med 1,04 opløftet i 0,5, hvilket giver cirka 7,84 kroner. Forwardprisen bliver dermed (400 minus 7,84) × 1,04, svarende til cirka 407,84 kroner, altså lavere end den simple model uden udbytte ville have givet, fordi udbyttet tilfalder aktiebesidderen og ikke forwardpositionen. For råvarer, hvor der ofte anvendes kontinuerlig rentetilskrivning, skrives cost of carry-modellen alternativt som:

\(F_0 = S_0 , e^{\left(r + u – y\right)T}\)

hvor u er de løbende lageromkostninger udtrykt som en andel af aktivets værdi, og y er convenience yield, det vil sige den implicitte værdi af at have fysisk rådighed over råvaren frem for blot en forwardposition på den.

Værdiansættelse af en løbende forwardposition

Forwardprisen, F0, er alene relevant ved kontraktens indgåelse. I løbet af kontraktens levetid ændrer den løbende markedsværdi af en allerede indgået position sig, efterhånden som spotprisen bevæger sig, selvom den aftalte leveringspris K ligger fast. Værdien af en lang position på tidspunktet t, hvor der resterer T minus t år til udløb, udledes ved at sammenholde den nuværende spotpris med nutidsværdien af den fastlåste leveringspris:

\(V_t = S_t – \frac{K}{\left(1 + r\right)^{T – t}}\)

Denne værdi udgør samtidig den pris, positionen kunne lukkes til ved at indgå en modsatrettet forwardkontrakt med samme udløbstidspunkt. En investor, der for et år siden indgik en lang forwardkontrakt med en oprindelig løbetid på to år og en leveringspris på 1.000 kroner, illustrerer værdiansættelsen et år senere: der resterer nu ét år til udløb, spotprisen er steget til 1.100 kroner, og den risikofrie rente er fortsat 5 procent om året. Værdien af positionen er da 1.100 minus 1.000 divideret med 1,05, hvilket giver 1.100 minus 952,38, altså cirka 147,62 kroner. Denne værdi afspejler præcis den gevinst, investoren kunne realisere ved at sælge sig ud af positionen til den aktuelle markedsforward i stedet for at vente til udløb, og den viser samtidig, at en forwardkontrakts pris og en forwardkontrakts værdi er to forskellige størrelser: prisen fastlåses ved indgåelsen, mens værdien svinger og ved udløb konvergerer mod:

\(V_T = S_T – K\)

Valutaforwards og dækket renteparitet

For valutaforwards er de to renter, der indgår i cost of carry-modellen, den indenlandske og den udenlandske risikofrie rente, og sammenhængen kaldes dækket renteparitet. Med S0 som den aktuelle spotkurs udtrykt som indenlandsk valuta per enhed udenlandsk valuta, rd som den indenlandske rente og rf som den udenlandske rente over løbetiden T, gælder:

\(F_0 = S_0 , \frac{\left(1 + r_d\right)^T}{\left(1 + r_f\right)^T}\)

Er den udenlandske rente højere end den indenlandske, handler den udenlandske valuta til en forward-discount i forhold til spotkursen, og omvendt til en forward-præmie, hvis den udenlandske rente er lavere. En spotkurs på 6,80 kroner per dollar, en dansk rente på 3 procent om året og en amerikansk rente på 5 procent om året for en etårig kontrakt illustrerer sammenhængen: forwardkursen bliver 6,80 × 1,03 divideret med 1,05, svarende til cirka 6,6705 kroner per dollar. Dollaren handler dermed til en forward-discount, fordi dens højere rente modsvares af en lavere forwardkurs, så en investor er indifferent mellem at placere midler i de to valutaer over kontraktens løbetid. Bryder denne sammenhæng, opstår en risikofri arbitragemulighed gennem en kombination af låntagning i den ene valuta, placering i den anden og en modsvarende valutaforward, hvilket i praksis holder markedet meget tæt på ligevægt.

Forholdet mellem forwardprisen og den forventede fremtidige spotpris

Cost of carry-modellen fastsætter forwardprisen ud fra finansieringsomkostninger og carry-faktorer, men siger i sig selv intet om, hvordan forwardprisen forholder sig til markedets forventning til den fremtidige spotpris. For råvarer knytter denne sammenhæng sig især til convenience yield: er convenience yield høj i forhold til finansieringsomkostningerne, kan forwardprisen ligge under den aktuelle spotpris, hvilket kaldes backwardation, mens en lav convenience yield typisk giver en forwardpris over spotprisen, kaldet contango. Teorien om normal backwardation, oprindeligt formuleret af Keynes, argumenterer desuden for, at producenter systematisk er tilbøjelige til at afdække deres fremtidige salg ved at indgå korte forwardpositioner, hvilket presser forwardprisen ned under den forventede fremtidige spotpris og dermed giver spekulanter, der indtager lange positioner, en risikopræmie for at bære prisrisikoen. Teorien er sidenhen blevet nuanceret og delvist udfordret i den akademiske litteratur, men illustrerer, at forwardprisens afvigelse fra den forventede fremtidige spotpris kan tilskrives en kombination af carry-faktorer og en risikopræmie, der i sidste ende afhænger af, hvordan aktivets afkast samvarierer med den bredere økonomi, en tankegang der begrebsmæssigt er beslægtet med CAPM.

Forward- og futuresprisers teoretiske afvigelse

Under antagelse om deterministiske renter er forward- og futuresprisen på samme underliggende aktiv med samme udløbstidspunkt identiske, fordi begge følger den samme cost of carry-logik. Er renterne derimod stokastiske, og samvarierer den korte rente positivt med den underliggende aktivpris, vil futuresprisen teoretisk ligge en anelse over forwardprisen. Årsagen er, at futureskontraktens løbende gevinster og tab udveksles og geninvesteres dagligt til den til enhver tid gældende rente: stiger aktivprisen samtidig med renten, geninvesteres de daglige gevinster på en lang futuresposition til en højere rente end forventet, hvilket gør positionen mere værd end en tilsvarende forwardposition uden løbende afregning. Er samvariationen negativ, vender effekten om, og forwardprisen kan i stedet marginalt overstige futuresprisen. I praksis er forskellen typisk beskeden for korte og mellemlange løbetider, men den indgår som et selvstændigt korrektionsled i mere avancerede prisfastsættelsesmodeller for rentefølsomme kontrakter.

Modpartsrisiko i OTC-kontrakter

Fordi en forwardkontrakt handles bilateralt uden for en børs og uden central clearing, bærer hver part en kreditrisiko på den anden, svarende til kontraktens positive markedsværdi på ethvert givet tidspunkt. Denne eksponering håndteres i praksis gennem standardiserede juridiske rammer som ISDA-masteraftalen samt gennem sikkerhedsstillelse under tilhørende CSA-aftaler, der løbende reducerer den uafdækkede eksponering. I den regnskabsmæssige og risikomæssige behandling af sådanne positioner indregnes desuden en kreditværdijustering, CVA, der reducerer den bogførte værdi af en forwardposition med den forventede tabsomkostning ved modpartens eventuelle misligholdelse. Denne modpartsrisiko er fraværende ved børshandlede instrumenter, hvor en central clearingcentral træder ind som modpart for begge sider af handlen.